Определите коэффициент теплопроводности $\alpha$, если известно, что в стационарном состоянии (при $t \gg \tau$) отношение объемов разных частей цилиндра равно $2$.

Применим первое начало термодинамики ко всей системе:\begin{equation}
q \tau=\Delta U=C_{V}\left(T_{1}-T_{0}\right)+C_{V}\left(T_{2}-T_{0}\right)=\frac{3}{2} R\left(T_{2}+T_{1}-2 T_{0}\right).\tag1\end{equation}$($В уравнении учтено, что для одноатомного газа молярная теплоемкость при постоянном объеме равна $C_{V}=\frac{3}{2} R)$.
Запишем условие стационарности системы:\begin{equation}
p_{1}=p_{2}=p_{кон}, q=q_{12}=\alpha\left(T_{1}-T_{2}\right).\tag2\end{equation}
В обоих уравнениях $T_{1}$ и $T_{2}$ -- установившиеся температуры газа в нагреваемой и охлаждающей частях цилиндра соответственно. Решая совместно уравнения $(1)$ и $(2)$, находим $T_{1}$ и $T_{2}$:\begin{equation}
T_{1}=\frac{1}{3} \frac{q \tau}{R}+T_{0}+\frac{q}{2 \alpha},\tag3\end{equation}\begin{equation}T_{2}=\frac{1}{3} \frac{q \tau}{R}+T_{0}-\frac{q}{2 \alpha}.\tag4\end{equation}Используя уравнения состояния для обеих частей цилиндра в стационарном состоянии $p_{к}\left(V_{0}+\Delta V\right)=R T_{1}$, $p_{к}\left(V_{0}-\Delta V\right)=R T_{2}$, получаем\begin{equation}n=\frac{V_{0}+\Delta V}{V_{0}-\Delta V}=\frac{T_{1}}{T_{2}}.\tag5\end{equation}Подставляя в $(5)$ значения $T_{1}$ и $T_{2}$ из $(3)$ и $(4)$, находим коэффициент теплопроводности при $n=2$:
$$
\alpha=\frac{9 q R}{2\left(q \tau+3 R T_{0}\right)}.
$$