Изобразим схему, как показано на рисунке.
Потенциалы точек $M_{1}$, $M_{2}$, $\ldots$ одинаковы, т. е. мы можем соединить их, не изменяя показаний амперметра. Теперь задача сводится к вычислению сопротивления цепочки резисторов. Обозначив его как $R_{x}$, получаем уравнение
$$
\frac{R_{x} r}{R_{x}+r} + R=R_{x}.
$$Здесь учтено, что подключение еще одного звена не должно изменять сопротивление цепочки. Решение уравнения
$$
R_{x}=\frac{R+\sqrt{R^{2}+4 r R}}{2}.
$$Искомый ответ
$$
I=\frac{\mathscr{E}}{R_{x}}=\frac{\mathscr{E}}{2 r}\left(\sqrt{1+\frac{4 r}{R}}-1\right).
$$