Найдите радиус $r$ кольца, находящегося на конусе.

Рассмотрим маленький элемент кольца массой $\Delta m$, которому соответствует малый угол $\beta$ (см. рисунок $a$).

Масса элемента $\Delta m=\frac{m}{2 \pi} \beta$. Силу нормального давления $N$ разложим на вертикальную $N_{1}$ и горизонтальную $N_{2}$ составляющие (см. рисунок $б$). Ясно, что $N_{2}=\frac{N_{1}}{\operatorname{tg} \alpha}$. Запишем условие равновесия элемента кольца:
$$
N_{1}=\Delta m g, \quad (1)
\\
\left|\bar{T}^{\prime}\right|=|\vec{T}|=T, \quad (2)
\\
N_{2}=2 T \sin \frac{\beta}{2}. \quad (3)
$$
С учетом малости $\beta$ имеем $N_{2}=T \beta$.
Решая совместно уравнения $(1)$ и $(3)$, находим силу натяжения:
$$
T=\frac{\Delta m \cdot g}{\beta \cdot \operatorname{tg} \alpha}=\frac{m g}{2 \pi \operatorname{tg} \alpha}.
$$
Так как $T=k\left(2 \pi r-2 \pi r_{0}\right)$, то радиус кольца, находящегося на конусе, равен
$$
r=r_{0}+\frac{m g}{4 \pi^{2} k \operatorname{tg} \alpha}. \quad (4)
$$

До какой угловой скорости $\omega$ надо раскрутить кольцо вместе с конусом вокруг оси конуса, чтобы радиус кольца, находящегося на конусе, стал $2 r$?

Пусть при вращении радиус кольца станет $R=2 r$. Сила $N_{1}$ не изменится. Значит, не изменится и $N_{2}$. По второму закону Ньютона
$$
\Delta m \cdot a_{ц}=T_{1} \beta-N_{2} \Rightarrow
\\
\Delta m \omega^{2} R=T_{1} \beta-\frac{\Delta m g}{\operatorname{tg} \alpha},
$$
где $a_{ц}$ – центростремительное ускорение, $T_{1}=2 \pi k\left(R-r_{0}\right)$. С учетом выражения для $\Delta m$ и $(4)$ получаем
$$
\omega^{2}=\frac{4 k \pi^{2}}{m} \frac{R-r}{R},
$$
откуда при $R=2 r$ находим
$$
\omega=\pi \sqrt{\frac{2 k}{m}}.
$$