Найдите:

1  ^?? механическую работу, совершаемую внешней силой против сил электрического поля при извлечении пластины из конденсатора;

При удалении диэлектрика из конденсатора его энергия изменяется на
$$
\Delta W_{1}=W_{1}-W_{0}=\frac{\left(C_{0} \varepsilon \mathscr{E}\right)^{2}}{2 C_{0}}-\frac{\left(C_{0} \varepsilon \mathscr{E}\right)^{2}}{2 \varepsilon C_{0}}=\frac{C_{0} \varepsilon \mathscr{E}^{2}}{2}(\varepsilon-1).
$$
Работа батареи $A_{бат}=0$, так как $\Delta q=0$. Из закона сохранения энергии механическая работа, совершаемая внешней силой
$$
A_{мех}=\Delta W_{1}.
$$

2  ^?? изменение электрической энергии конденсатора в процессе перезарядки;

В процессе перезарядки конденсатора заряд изменяется на $\Delta q=-C_{0} \mathscr{E}(\varepsilon-1)$, а его энергия на
$$
\Delta W_{2}=W_{2}-W_{1}=\frac{\left(C_{0} \mathscr{E}\right)^{2}}{2 C_{0}}-\frac{\left(C_{0} \varepsilon \mathscr{E}\right)^{2}}{2 C_{0}}=-\frac{C_{0}\mathscr{E}^{2}}{2}\left(\varepsilon^{2}-1\right).
$$

3  ^?? работу батареи;

Работа батареи в процессе перезарядки равна
$$
A_{бат}=\mathscr{E} \Delta q=-C_{0} \mathscr{E}^{2}(\varepsilon-1).
$$

4  ^?? количество теплоты, выделившееся на резисторе $R$.

Из закона сохранения энергии находим количество теплоты, выделившееся на резисторе:
$$
Q=A_{бат}-\Delta W_{2}=\frac{C_{0} \mathscr{E}^{2}}{2}(\varepsilon-1)^{2}.
$$