На каком расстоянии друг от друга окажутся тела через время $\tau \gg \frac{2 \pi R}{v_{1}}$ ?

Через некоторое время тела будут двигаться по концентрическим окружностям с одинаковыми угловыми скоростями. Решение ясно из рисунка.
$$
x=\sqrt{R^{2}-\left(\frac{4}{5}\right)^{2} R^{2}}=\frac{3}{5} R.
$$