1  ^?? Определите разность потенциалов на конденсаторе $C_{1}$ в этот момент.

Так как $U_{C_{2}}=\frac{\mathscr{E}}{2}$ максимально, то сила тока через резистор $R_{2}$ равна нулю. Тогда разность потенциалов на $R_{1}$ равна $\frac{\mathscr{E}}{2}$.
Следовательно, $U_{C_{1}}=\mathscr{E}-\frac{\mathscr{E}}{2}=\frac{\mathscr{E}}{2}$.

2  ^?? Найдите силу тока через резистор $R_{1}$ в этот же момент.

Сила тока через резистор $R_{1}$ равна $I_{R_{1}}=\frac{\mathscr{E}}{2 R_{1}}$.

3  ^?? Определите максимальный заряд на конденсаторе $C_{1}$.

Когда процесс установится, сила тока через резистор $R_{1}$ равна нулю, откуда
$$
q_{\max C_{1}}=C_{1} \mathscr{E}, \quad q_{C_{2}}=0.
$$

4  ^?? Вычислите полное количество теплоты, выделившееся в цепи после замыкания ключа $K$.

Из закона сохранения энергии следует, что в установившемся режиме
$$
\begin{gathered}
\mathscr{E} q_{C_{1}}=\frac{C_{1} \mathscr{E}^{2}}{2}+Q,
\\
q_{C_{1}}=C_{1} \mathscr{E} \text { или } Q=\frac{C_{1} \mathscr{E}^{2}}{2}.
\end{gathered}
$$