Как показано на рисунке, твёрдая полусфера массой $M$ и радиусом $R$ лежит на гладкой горизонтальной поверхности. На её вершине покоится однородная сфера меньшего радиуса $r$ массой $m$. В некоторый момент времени сфера оказывается слегка выведенной из положения равновесия и начинает скатываться вниз. Её положение описывается углом $\theta$ между вертикалью и прямой, соединяющей центры тел. Коэффициент трения покоя и скольжения между сферой и полусферой равен $\mu$, момент инерции сферы относительно оси симметрии равен $\frac{2}{5}mr^2$, ускорение свободного падения равно $g$.

1  ^15.00 Некоторое время после начала движения сфера скатывается без проскальзывания. Когда угол $\theta = \theta_1$, найдите величину скорости $v_M (\theta_1)$ и ускорения $a_M (\theta_1)$ полусферы.

2  ^15.00 Сфера начинает проскальзывать при значении угла $\theta = \theta_2$. Выведите соотношение, связывающее при этом $v_M (\theta_2)$ и $a_M (\theta_2)$.

3  ^5.00 Сфера отрывается от полусферы при значении угла $\theta = \theta_3$. Найдите величину скорости $v_C'$ центра сферы относительно полусферы в этот момент.