Пусть заряд обкладок конденсатора $Q_{1}$ и $Q_{3}$, а заряд на границе слоев, заполняющих конденсатор, $Q_{2}$. Эти три физические величины нам предстоит найти. Для этого необходимо составить три уравнения (по числу неизвестных), содержащих эти величины.
Запишем закон сохранения заряда:
$$
Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}=0. \quad (1)
$$
Выразим разность потенциалов между обкладками конденсатора через потенциалы на границе сферических поверхностей конденсатора:
$$
\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{Q_{1}}{R}+\frac{Q_{2}}{2 R}+\frac{Q_{3}}{3 R}\right)=U. \quad (2)
$$
Плотности тока $j$ по обе стороны границы, разделяющей вещества с $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$, одинаковы:
$$
j_{1}=j_{2}. \quad (3)
$$
Плотность тока находим из закона Ома для участка цепи сферического слоя толщины $\Delta R$:
$$
j=\frac{I}{S}=\frac{\Delta U}{S \Delta r}=\frac{E \Delta R}{S \frac{\rho \Delta R}{S}}=\frac{E}{\rho}, \quad (4)
$$
где $S$ – площадь поверхности сферического слоя, $E$ – напряженность электрического поля, $\Delta r$ – сопротивление сферического слоя.
С учетом $(4)$ выражение $(3)$ представим в виде
$$
\frac{1}{\rho} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q_{1}}{(2 R)^{2}}=\frac{1}{2 \rho} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{Q_{1}}{(2 R)^{2}}+\frac{Q_{2}}{(2 R)^{2}}\right). \quad (5)
$$
Отсюда получим
$$
Q_{1}=Q_{2}. \quad (6)
$$
Из $(1)$, $(2)$ и $(6)$ находим
$$
Q_{2}=\frac{24}{5} \pi \varepsilon_{0} U R.
$$
Плотность тока вблизи обкладки радиуса $R$ равна
$$
j=\frac{1}{\rho} \frac{Q_{1}}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{2}}=\frac{6}{5} \cdot \frac{U}{\rho R}.
$$
Тогда сила тока, текущего через конденсатор,
$$
I=j \cdot 4 \pi R^{2}=\frac{24 \pi}{5} \frac{U R}{\rho}.
$$