В этой задаче мы рассмотрим движение частицы в гравитационном поле с учетом релятивистских поправок. В общем случае для описания релятивистских эффектов в гравитации нужно использовать общую теорию относительности (ОТО). Однако если гравитационное поле сферически симметрично, задачу можно решить только с помощью законов сохранения.

Во всех частях задачи мы будем рассматривать движение легкого тела массы $m$ в гравитационном поле намного более массивного тела массы $M$ — звезды, которую считаем неподвижной. Звезда характеризуется гравитационным радиусом $r_g = 2GM/c^2$. На расстояниях $r \gg r_g$ гравитационное поле описывается теорией Ньютона, на меньших расстояниях нужно учитывать релятивистские поправки.

Положение частицы в некоторый момент времени $t$, задается тремя сферическими координатами $r$, $\theta$, $\varphi$. Не ограничивая общности, будем считать, что движение происходит в экваториальной плоскости $\theta = \pi/2$. Время $t$ измеряется по часам наблюдателя, находящегося на большом расстоянии до звезды.

Из-за эффектов ОТО значения расстояния и времени, измеренные неподвижными наблюдателями рядом со звездой, отличаются от стандартных.
Расстояние между двумя близкими точками (с учетом $\theta = \pi/2 = const$)
$$
dl^2 = \frac{1}{1-r_g/r} dr^2 + r^2 d\varphi^2.
$$
Промежуток времени, измеренный по часам наблюдателя в точке с координатой $r$
$$
dT^2 = \left(1- \frac{r_g}{r}\right) dt^2.
$$
Собственное время для частицы определяется стандартным выражением $d\tau^2 = dT^2 - dl^2/c^2$. Оно равно показаниям часов частицы, которая движется в гравитационном поле.

Законы сохранения энергии и момента импульса имеют вид
$$
E = mc^2 \left(1- \frac{r_g}{r}\right) \frac{dt}{d\tau} = const;
$$
$$
L = m r^2 \frac{d\varphi}{d\tau} = const.
$$
Здесь производные вычисляются по собственному времени частицы.
Все выражения здесь применимы только при $r>r_g$. Радиус нормальных звезд больше $r_g$. Если же вещество сжимается до размера меньше гравитационного радиуса, соответствующего его массе, образуется черная дыра. Любое тело, достигшее $r= r_g$, неизбежно падает внутрь черной дыры.

Часть А. Разминка

Рассмотрим нерелятивистское движение тела массы $m$ в гравитационном поле звезды массы $M \gg m$. Движение происходит в плоскости, положение тела задается полярными координатами $r$, $\varphi$, звезда расположена в начале координат. В этой части не нужно учитывать релятивистские эффекты!

A1  ^0.50 Выразите энергию тела $E$ через $r$, радиальную скорость $v_r=dr/dt$, момент импульса $L$ и параметры системы ($G$, $M$, $m$).

A2  ^0.50 Введем переменную $w = 1/r$. Выразите радиальную скорость $v_r$ через производную этой переменной по углу $dw/ d\varphi$, а также $L$, $m$, $w$ и подставьте это выражение в закон сохранения энергии.

A3  ^0.50 Продифференцировав закон сохранения энергии по $\varphi$, получите уравнение второго порядка на $w(\varphi)$. Получите отсюда, что
$$
r(\varphi) = \frac{p}{1-e \cos(\varphi - \varphi_0)}
$$
при некоторых постоянных $p$, $e$, $\varphi_0$.

Часть B. Вывод уравнений движения

Начиная с этой части мы занимаемся релятивистской задачей. Нужно использовать формулы для энергии и момента импульса из введения.

B1  ^0.50 Используя соотношение между собственным временем частицы $d \tau$ и изменением ее координат, получите уравнение, связывающее квадраты производных $dr/d\tau$, $dt/d\tau$, $d\varphi/d\tau$.

B2  ^0.50 Используя законы сохранения энергии и момента импульса, а также соотношение, найденное в предыдущем пункте, получите выражение вида
$$
\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 = \frac{E^2}{m^2 c^2} - c^2 V(r).
$$
Здесь $V(r)$ — некоторый эффективный потенциал, который может содержать $L$, $r_g$ и фундаментальные постоянные.

B3  ^1.00 Покажите, что в нерелятивистском случае, то есть при $r \gg r_g$ и $v \ll c$, соотношение из предыдущего пункта переходит в стандартный закон сохранения энергии для движения в центральном потенциале.

B4  ^0.50 Введем безразмерную переменную $u = r_g/ r$, а также безразмерный момент импульса $l = L/ m c r_g$. Используя определение момента импульса, выразите $dr/d\tau$ через $d u/d \varphi$, а также $l$, $m$, $r$, $r_g$. Подставьте полученное выражение в результат B2. В результате у вас должно получиться уравнение, содержащее $u'^2$, $u$ и интегралы движения ($l$, $E$).

B5  ^0.50 Продифференцировав результат B4 по $\varphi$, получите уравнение второго порядка на $u(\varphi)$. Оно аналогично уравнению из A3 и содержит релятивистские поправки к форме орбиты.

Часть С. Прецессия орбиты

C1  ^0.80 Пусть тело движется с моментом импульса $l$ по круговой орбите. Найдите возможные значения радиуса орбиты $a$. Выразите ответ через $r_g$ и $l$.

Предположим, что движение частицы нерелятивистское, то есть она находится на расстоянии $r \gg r_g$ от звезды. Форма орбиты близка к круговой. Эффекты ОТО приведут к тому, что положение перигелия (ближайшей к звезде точки) орбиты будет медленно меняться с течением времени. Пусть $u = u_0 + \delta u$, где $u_0 = r_g/a \ll 1$ ($a$ — радиус круговой орбиты), а $\delta u (\varphi) \ll u_0$ представляет собой малое отклонение от круговой орбиты.

C2  ^1.00 Используя уравнение из B5, получите линейное уравнение на отклонение орбиты от круговой и найдите угловое расстояние $\Delta \varphi$ между двумя соседними максимумами $u(\varphi)$. На какой угол $\delta \varphi$ смещается положение перигелия за один период? Выразите ответ через $G$, $M$, $c$, $a$.

C3  ^0.50 На какой угол перигелий Меркурия смещается за одно столетие? Орбиту Меркурия можно считать круговой, ее радиус $a = 57.9 \cdot 10^9 ~м$, период обращения Меркурия вокруг Солнца $T = 88$ дней, масса Солнца $M = 1.99\cdot 10^{30}~кг$, гравитационная постоянная $G = 6.67\cdot 10^{-11}~м^3/(кг \cdot с^2)$, скорость света $c = 2.998\cdot 10^8~м/с$.

C4  ^1.00 Найдите минимальный радиус устойчивой круговой орбиты для частицы, движущейся в поле черной дыры. Выразите ответ через $r_g$.

Часть D. Отклонение света

Пусть теперь мимо звезды пролетает ультрарелятивистская частица, энергия которой много больше энергии покоя $E \gg mc^2$. Если не учитывать гравитационное поле, частица бы двигалась по прямой и пролетела бы на минимальном расстоянии $b \gg r_g$ до звезды. Тогда ее момент импульса $L = p b \approx E b/ c$, а значит $l \approx Eb/ mc^2 r_g \gg 1$.

D1  ^0.20 Запишите уравнение, описывающее вид траектории $u(\varphi)$ ультрарелятивистской частицы, с учетом условия $l \gg 1$. Используйте результат B5.

Если частица пролетает достаточно далеко от звезды, величина $u(\varphi)$ все время мала. Поэтому нелинейные члены в полученном уравнении можно рассматривать как малую поправку. Поэтому сначала решим линейное уравнение, а затем изучим отклонение, вызванное нелинейностью.

D2  ^0.40 Пренебрежем в уравнении из D1 нелинейными по $u(\varphi)$ членами. Найдите решение $u = u_0(\varphi)$, которое описывает частицу, пролетающую на минимальном расстоянии $b$ от звезды, причем минимуму отвечает угол $\varphi = 0$.

D3  ^0.60 Рассматривая нелинейный член в D1 как малую поправку, заменим в нем $u(\varphi)$ на $u_0(\varphi)$. Получите таким образом поправку $u_1(\varphi)$ к решению из D1. Таким образом, приближенное решение нелинейного уравнения будет иметь вид $u(\varphi) =u_0(\varphi)+u_1(\varphi)$.

D4  ^1.00 Частица удаляется на бесконечность, когда $u(\varphi) =0$. Используя приближенное решение из предыдущего пункта, найдите угол отклонения частицы от прямолинейного распространения. Выразите ответ через $G$, $M$, $c$, $b$.