Pho.rs: Релятивистское движение в гравитационном поле

A1 ^0.50 Выразите энергию тела $E$ через $r$, радиальную скорость $v_r=dr/dt$, момент импульса $L$ и параметры системы ($G$, $M$, $m$).

A1. 1 Выражение для угловой части энергии $mv_\theta ^2/2 = L^2/ 2m r^2$	0.30
A1. 2 Выражение для энергии $$ E = \frac{mv_r^2}{2} + \frac{L^2}{2 mr^2} - \frac{GMm}{r}. $$	0.20

A2 ^0.50 Введем переменную $w = 1/r$. Выразите радиальную скорость $v_r$ через производную этой переменной по углу $dw/ d\varphi$, а также $L$, $m$, $w$ и подставьте это выражение в закон сохранения энергии.

A2. 1 Выражение для скорости производной $$ v_r = -\frac{L}{m}\frac{dw}{d\varphi}. $$	0.30
A2. 2 Выражение для энергии $$ E = \frac{L^2}{2m}(w'^2+w^2) - GMmw $$	0.20

A3 ^0.50 Продифференцировав закон сохранения энергии по $\varphi$, получите уравнение второго порядка на $w(\varphi)$. Получите отсюда, что
$$
r(\varphi) = \frac{p}{1-e \cos(\varphi - \varphi_0)}
$$
при некоторых постоянных $p$, $e$, $\varphi_0$.

A3. 1 Получено уравнение $$ w''+w = \frac{GMm^2}{L^2} $$	0.30
A3. 2 Найдены решения вида $$ w = \frac{GMm^2}{L^2} + A \cos (\varphi - \varphi_0) $$	0.20

B1 ^0.50 Используя соотношение между собственным временем частицы $d \tau$ и изменением ее координат, получите уравнение, связывающее квадраты производных $dr/d\tau$, $dt/d\tau$, $d\varphi/d\tau$.

B1. 1 Использовано правильное выражение для собственного времени $$ d\tau^2 = dT^2 - dl^2/ c^2 $$	0.20
B1. 2 Получено соотношение $$ c^2 \left(1- \frac{r_g}{r} \right) \left( \frac{dt}{d \tau}\right)^2 - \frac{1}{1- r_g/r}\left( \frac{dr}{d \tau}\right)^2 - r^2 \left( \frac{d\varphi}{d \tau}\right)^2 = c^2 $$	0.30

B2 ^0.50 Используя законы сохранения энергии и момента импульса, а также соотношение, найденное в предыдущем пункте, получите выражение вида
$$
\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 = \frac{E^2}{m^2 c^2} - c^2 V(r).
$$
Здесь $V(r)$ — некоторый эффективный потенциал, который может содержать $L$, $r_g$ и фундаментальные постоянные.

B2. 1 Выражена производная времени $$ \frac{dt}{d \tau} = \frac{E}{mc^2} \left( 1- \frac{r_g}{r}\right)^{-1} $$	0.10
B2. 2 Выражена производная угла $$ \frac{d\varphi}{d\tau} = \frac{L}{mr^2} $$	0.10
B2. 3 Ответ $$ \left( \frac{dr}{d\tau}\right)^2 = \frac{E^2}{m^2 c^2} - c^2 \left(1+ \frac{L^2}{m^2 c^2 r^2} \right)\left( 1- \frac{r_g}{r}\right). $$	0.30

B3 ^1.00 Покажите, что в нерелятивистском случае, то есть при $r \gg r_g$ и $v \ll c$, соотношение из предыдущего пункта переходит в стандартный закон сохранения энергии для движения в центральном потенциале.

B3. 1 Указано, что $L \ll mcr$	0.30
B3. 2 Связь полной энергии с нерелятивистской $E = mc^2 + E_1$	0.30
B3. 3 Получено нерелятивистское выражение для энергии	0.40

B4 ^0.50 Введем безразмерную переменную $u = r_g/ r$, а также безразмерный момент импульса $l = L/ m c r_g$. Используя определение момента импульса, выразите $dr/d\tau$ через $d u/d \varphi$, а также $l$, $m$, $r$, $r_g$. Подставьте полученное выражение в результат B2. В результате у вас должно получиться уравнение, содержащее $u'^2$, $u$ и интегралы движения ($l$, $E$).

B4. 1 Выражение для производной $$ \frac{dr}{d\tau} = -lc \frac{du}{d\varphi}. $$	0.30
B4. 2 Уравнение для производной $$ l^2 c^2 u'^2 = \frac{E^2}{m^2 c^2} - c^2 (1+l^2 u^2)(1-u). $$	0.20

B5 ^0.50 Продифференцировав результат B4 по $\varphi$, получите уравнение второго порядка на $u(\varphi)$. Оно аналогично уравнению из A3 и содержит релятивистские поправки к форме орбиты.

B5. 1 Получено уравнение
$$
u'' = \frac{1}{2l^2} - u +\frac{3}{2}u^2.
$$

0.50

C1 ^0.80 Пусть тело движется с моментом импульса $l$ по круговой орбите. Найдите возможные значения радиуса орбиты $a$. Выразите ответ через $r_g$ и $l$.

C1. 1 Указано, что для круговой орбиты $u''=0$.	0.30
C1. 2 Получены значения для радиусов $$ \qquad a = \frac{3 r_g}{1 \pm \sqrt{1 - 3/l^2}}. $$	0.50

C2 ^1.00 Используя уравнение из B5, получите линейное уравнение на отклонение орбиты от круговой и найдите угловое расстояние $\Delta \varphi$ между двумя соседними максимумами $u(\varphi)$. На какой угол $\delta \varphi$ смещается положение перигелия за один период? Выразите ответ через $G$, $M$, $c$, $a$.

C2. 1 Полученное линеаризованное уравнение $$ \delta u'' = - \delta u + 3 u_0 \delta u. $$	0.40
C2. 2 Найдено расстояние между максимумами $$ \Delta \varphi = \frac{2 \pi }{\sqrt{1- 3 u_0}}. $$	0.30
C2. 3 Найдено смещение перигелия $$ \delta \varphi = 3 \pi u_0 = \frac{6 \pi GM}{c^2 a}. $$	0.30

C3 ^0.50 На какой угол перигелий Меркурия смещается за одно столетие? Орбиту Меркурия можно считать круговой, ее радиус $a = 57.9 \cdot 10^9 ~м$, период обращения Меркурия вокруг Солнца $T = 88$ дней, масса Солнца $M = 1.99\cdot 10^{30}~кг$, гравитационная постоянная $G = 6.67\cdot 10^{-11}~м^3/(кг \cdot с^2)$, скорость света $c = 2.998\cdot 10^8~м/с$.

C3. 1 Численный ответ $
\delta \varphi_1 \approx 2.0 \cdot 10^{-4}~рад\approx 41''
$

0.50

C4 ^1.00 Найдите минимальный радиус устойчивой круговой орбиты для частицы, движущейся в поле черной дыры. Выразите ответ через $r_g$.

C4. 1 Идея того, что для устойчивости орбиты необходима вещественность частоты колебаний вблизи орбиты ($1- 3 u_0 \ge 1$).	0.50
C4. 2 Ответ $r= 3 r_g$.	0.50

D1 ^0.20 Запишите уравнение, описывающее вид траектории $u(\varphi)$ ультрарелятивистской частицы, с учетом условия $l \gg 1$. Используйте результат B5.

D1. 1 Ответ $u'' +u = 3u^2/2$

0.20

D2 ^0.40 Пренебрежем в уравнении из D1 нелинейными по $u(\varphi)$ членами. Найдите решение $u = u_0(\varphi)$, которое описывает частицу, пролетающую на минимальном расстоянии $b$ от звезды, причем минимуму отвечает угол $\varphi = 0$.

D2. 1 Решение $u = \frac{r_g}{b} \cos \varphi$

0.40

D3 ^0.60 Рассматривая нелинейный член в D1 как малую поправку, заменим в нем $u(\varphi)$ на $u_0(\varphi)$. Получите таким образом поправку $u_1(\varphi)$ к решению из D1. Таким образом, приближенное решение нелинейного уравнения будет иметь вид $u(\varphi) =u_0(\varphi)+u_1(\varphi)$.

D3. 1 Правильное уравнение на поправку $u_1''+u_1 = \frac{3 A^2}{4} (1 + \cos 2 \varphi)$	0.20
D3. 2 Правильно найден не зависящий от угла вклад $u_1$: $3 A^2/4$	0.10
D3. 3 Правильно найден вклад в $u_1$: $- A^2/4 \cos 2\varphi$	0.30

D4 ^1.00 Частица удаляется на бесконечность, когда $u(\varphi) =0$. Используя приближенное решение из предыдущего пункта, найдите угол отклонения частицы от прямолинейного распространения. Выразите ответ через $G$, $M$, $c$, $b$.

D4. 1 M1 Идея приближенного решения уравнения $\varphi \approx \pi/2$	0.20
D4. 2 M1 Приближенное значение угла $\varphi = \pm (\pi/2 +A)$	0.30
D4. 3 M2 Точное решение $$ \cos \varphi = \frac{1}{A} \left( 1- \sqrt{1+2 A^2}\right) $$	0.50
D4. 4 Ответ для отклонения $$ \delta \varphi = \frac{2 r_g}{b} = \frac{4 GM}{c^2 b}. $$	0.50

Релятивистское движение в гравитационном поле

Разбалловка