Logo
Logo

Двухкомпонентные смеси

A1  1.00 Дано $p_A$, $p_B$, $x_A$ , $x_B$. Найти молярные доли компонент смеси в газообразной фракции ($y_A$ и $y_B$).

По закону Рауля:
$$
P_A = p_A x_A \\
P_B = p_B x_B
$$

По закону Дальтона:
$$
{y_A \over y_B } = {P_A \over P_B}
$$

Следовательно,
$$
{y_A \over y_B } = {{ p_A x_A } \over { p_B x_B}}
$$

A2  0.50 Пусть для жидкости известны молярная теплота парообразования $\lambda$ и температура кипения жидкости $t$ при атмосферном давлении $P_0$. Найдите зависимость давления насыщенного пара чистой жидкости от температуры $P(T)$.

Уравнение Клапейрона-Клаузиуса (в случае идеального газа):
$$
{dP \over dT} = {\lambda \over {T \Delta v}} = {\lambda P \over RT^2}
$$

После интегрирования, получим:
$$
P(T) = P_0 e^{{\lambda \over R} ({1 \over t}-{1 \over T})}
$$

A3  1.00 Выразите $p_A/p_B$ при температуре $T$ через температуры кипения чистых жидкостей $t_A$ и $t_B$ (при атмосферном давлении), их молярные теплоты парообразования $\lambda_A$ и $\lambda_B$.

$$
p_A(T) = P_0 e^{{\lambda_A \over R} ({1 \over t_A}-{1 \over T})} \\
p_B(T) = P_0 e^{{\lambda_B \over R} ({1 \over t_B}-{1 \over T})}
$$

$$
{p_A \over p_B} (T) = e^{{\lambda_A \over R} ({1 \over t_A}-{1 \over T}) - {\lambda_B \over R} ({1 \over t_B}-{1 \over T})}
$$

A4  2.00 Считая $\lambda_A=\lambda_B=\lambda$, найдите температуру кипения двухкомпонентной смеси: $T(\lambda,t_A,t_B,x_B)$.

При температуре кипения смеси
$$
P = p_A x_A + p_B x_B = P_0
$$

$$
P_0 = P_0 e^{{\lambda_A \over R} ({1 \over t_A}-{1 \over T})} x_A + P_0 e^{{\lambda_B \over R} ({1 \over t_B}-{1 \over T})} x_B \\
1= e^{{\lambda_A \over R} ({1 \over t_A}-{1 \over T})} (1-x_B) + e^{{\lambda_B \over R} ({1 \over t_B}-{1 \over T})} x_B
$$

$$
T = {\lambda \over R} ln^{-1} ({x_B e^{\lambda \over {Rt_B}}+(1-x_B)e^{\lambda \over {Rt_A}}})
$$

A5  1.50 Считая температуру двухкомпонентной системы $T$ постоянной, изобразите на графиках зависимости $P(x_B) , P(y_B)$ и $y_B(x_B)$.

По закону Рауля $P(x_B)$ линейно.
В граничных точках $ x_B=0 , y_B=0 , P = p_A$ или $ x_B=1 , y_B=1 , P = p_B$ .
При $ p_B > p_A $ : $\\$ $ y_B > x_B $.

A6  0.60 Какая $x_B$ будет достигнута после первой конденсации ($N=1$)?

$$
x_B (N+1) = y_B(N) \\
{{1-y_B(N)} \over y_B(N)} = {p_A \over p_B} {{1-x_B(N)} \over x_B(N)}
$$

$$
x_B(1) \approx 0.02
$$

A7  1.40 Какая $x_B$ будет достигнута после того как процедура повторится $N=10$ раз, $N= 10^6$?

$$
{{1-x_B(N)} \over x_B(N)} = {({p_A \over p_B})}^N {{1-x_B(0)} \over x_B(0)}
$$

$$
x_B(10) \approx 0.91 \\
x_B(10^6) \approx 1.00
$$

A8  2.00 Найдите, во сколько раз к этому моменту уменьшилось общее количество жидкости?

Рассмотрим уменьшение количества веществ A и B при удалении объема пара $\Delta v$:

$$
dA = - \Delta v {P_A \over {RT}} = - \Delta v {{p_A x_A} \over {RT}} \\

dB = - \Delta v {P_B \over {RT}} = - \Delta v {{p_B x_B} \over {RT}} \\

A = x_A n_L V \\
B = x_B n_L V
$$

$n_L$ - молярная плотность жидкости.

Избавляемся от $\Delta v$:
$$
{dA \over dB} = {{p_A x_A} \over {p_B x_B}}
$$

Подставляем
$$
dA = dx_A n_L V + x_A n_L dV \\
dB = dx_B n_L V + x_B n_L dV
$$.

После упрощения:

$$
{dV \over V} = {dx_B \over x_B} + {{2 dx_B} \over {1-x_B}}
$$

Интегрируем:

$$
ln(V/V_0) = ln({x_B \over x_B(0)}) -2 ln({{1-x_B}\over {1-x_B(0)}})
$$

$$
V \approx 0.38 V_0
$$