На рисунках $a$, $б$ показан ход луча, вышедшего из вершины стрелки в направлении оптического центра линзы.
Для каждого из двух случаев имеем:
$a)$ $n \alpha=\alpha_{1}$, $\alpha=h / a$, $\alpha_{1}=h_{1} / b$,
$$
\begin{gathered}
n \frac{h}{a}=\frac{h_{1}}{b}; &\quad (1)
\end{gathered}
$$
$б)$ $\alpha=n \alpha_{2}$, $\alpha_{2}=h_{2} / b$,
$$
\begin{gathered}
\frac{h}{a}=n \frac{h_{2}}{b}. &\quad (2)
\end{gathered}
$$
Разделив $(1)$ на $(2)$, получим для показателя преломления
$$
\begin{gathered}
n=\sqrt{\frac{h_{1}}{h_{2}}}. &\quad (3)
\end{gathered}
$$
Из $(1)$ и $(3)$ получим: $h=(a / b) \sqrt{h_{1} h_{2}}$. $\quad (4)$
Найдем $a$.
Формула тонкой линзы имеет вид $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{F_{0}}$ (см. рисунок ниже).
Для малых углов из нее следует соотношение $\varphi_{1}+\varphi_{2}=\varphi_{0}$, где $\varphi_{0}$ — угол, под которым из фокуса виден радиус линзы. Применительно к нашей задаче, в силу симметрии линзы фокусное расстояние системы будет одним и тем же независимо от того, в какую часть аквариума налита жидкость. Обозначим это расстояние символом $F$ и положим $\frac{r}{F}=\varphi$ (здесь $r$ — радиус линзы). Тогда, если жидкость в правом отсеке, то $\varphi_{1} n+\varphi_{2}=\varphi$, а если в левом, то $\varphi_{1}+n \varphi_{2}=\varphi$. Взяв разность двух последних уравнений, получим
$$
\varphi_{1}(n-1)=\varphi_{2}(n-1).
$$
Поскольку $n \neq 1$, то, сокращая последнее равенство на $(n-1)$, получим $\varphi_{1}=\varphi_{2}$ и, следовательно, $a=b=L / 2$.
Тогда формула $(4)$ принимает вид:
$$
h=\sqrt{h_{1} h_{2}}.
$$
Подставляя в полученные выше выражения числовые значения входящих в них величин, находим
$$
n=1.5, a=b=25~см, h=3~мм.
$$