Иллюстрацией к решению служит рисунок.
При обращении спутника вокруг Солнца по орбите Земли выполняется соотношение:
$$
\frac{m v_{0}^{2}}{R_{0}}=G \frac{m M}{R_{0}^{2}}=F_{0}. \quad (1)
$$
Здесь $v_{0}$ – скорость спутника, $R_{0}$ – радиус орбиты.
После раскрытия паруса на спутник начинается действовать, кроме гравитационной, сила светового давления. Эта сила равна $F_{s}=2 W / c$, где $W$ – световая мощность излучения Солнца, падающего на парус. Так как излучение Солнца изотропно, то
$$
F_{s}=2 \frac{L}{c} \frac{\pi r^{2}}{4 \pi R^{2}},
$$
где $R$ – расстояние от Солнца. Обозначим $\alpha=G m M$, $\beta=\frac{L r^{2}}{2 c}$.
Тогда равнодействующая сил, приложенных к спутнику, будет равна
$$
F=\frac{\alpha}{R^{2}}-\frac{\beta}{R^{2}}=\frac{\alpha-\beta}{R^{2}}.
$$
Поскольку $F$, как и $F_{0}$, пропорциональна $R^{-2}$, то движение спутника с парусом будет подчиняться законам Кеплера. Спутник будет двигаться по эллиптической траектории. Найдем большую полуось эллипса.
Из закона постоянства секториальной скорости следует
$$
v_{0} R_{0}=v_{1} R_{1}, \quad (2)
$$
а из закона сохранения энергии имеем
$$
\frac{m v_{0}^{2}}{2}-\frac{\alpha-\beta}{R_{0}}=\frac{m v_{1}^{2}}{2}-\frac{\alpha-\beta}{R_{1}}. \quad (3)
$$
Подставляя $(2)$ в $(3)$, получим
$$
v_{0}{ }^{2} \frac{R_{1}^{2}-R_{0}^{2}}{R_{1}^{2}}=\frac{2(\alpha-\beta)}{m} \cdot \frac{R_{1}-R_{0}}{R_{1} R_{0}},
$$
откуда
$$
R_{1}=\frac{R_{0}^{2} v_{0}^{2} m}{2(\alpha-\beta)-R_{0} v_{0}^{2} m}.
$$
Используя соотношение $(1)$, можно получить:
$$
R_{1}=R_{0} \frac{\alpha}{\alpha-2 \beta}.
$$
Большая полуось эллипса будет равна
$$
a=\frac{1}{2}\left(R_{1}+R_{0}\right)=R_{0} \frac{\alpha-\beta}{\alpha-2 \beta}.
$$
По третьему закону Кеплера время обращения по такой орбите равно времени обращения по окружности радиуса $a$:
$$
T=\frac{2 \pi a}{u}, \text { причем } \frac{m u^{2}}{a}=\frac{\alpha-\beta}{a^{2}}.
$$
здесь $u$ – скорость спутника на круговой орбите радиуса $a$, откуда $ T=2 \pi \sqrt{\frac{a^{3} m}{\alpha-\beta}}$.
С другой стороны, период обращения Земли
$$
T_{0}=2 \pi \sqrt{\frac{R_{0}^{3}}{\gamma M}}=2 \pi \sqrt{\frac{R_{0}^{3} m}{\alpha}}.
$$
Следовательно:
$$
\frac{T}{T_{0}}=(\alpha-\beta) \sqrt{\frac{\alpha}{(\alpha-2 \beta)^{3}}}.
$$
Так как $\frac{\alpha}{\beta}=\frac{2 G m M c}{L r^{2}}=4.23$, то $\frac{T}{T_{0}} \approx 2$.
Искомый период обращения спутника с солнечным парусом равен приблизительно $2$ годам.