Logo
Logo

Моделирование фазового перехода

Разбалловка

A0  0,20 Определите размер решетки $L$, температуру $T$ и магнитное поле $h$, заданные в программе в качестве параметров по умолчанию.

A0. 1 Значения $L =100$, $T=10$, $h=0$. 0,20
A1  0,40 Как время исполнения программы $\tau$ зависит от размера сетки $L$ и от числа повторений алгоритма $I$? Сколько исполнялось $I = 500$ шагов алгоритма на решетке размера $L = 1000$?

A1. 1 Оценка $\tau \sim I L^2$ 0,20
A1. 2 Число $\tau$ от 10 до 30 часов. 0,20
A2  0,50 Пронаблюдайте, как распределение магнитных моментов меняется в зависимости от температуры. Оцените температуру $T_c$, при которой происходит фазовый переход.

A2. 1 Оценка $T_c \in [2;\,3]$. 0,50
A3  0,20 Какое число шагов алгоритма $I$ требуется, чтобы от начального случайного распределения получить равновесное распределение при $T= 1.5$, $h=0.1$? Размер решетки по умолчанию.

A3. 1 Значение $I \in[30, 100]$. 0,20
A4  0,70 В этой задаче придется много работать со случайными величинами. Чтобы получить разумные ответы, важно правильно оценивать случайные погрешности. В качестве примера рассмотрим сетку размера $L = 5$ при температуре $T = 3.66$. Как погрешность определения $m^2$ зависит от числа шагов алгоритма $I$? Определите $m^2$ с погрешностью не выше $0.01$.

A4. 1 Оценка погрешности как $1/\sqrt{I}$ 0,30
A4. 2 Значение $m^2 \in [0.19,\, 0.21]$. 0,40
B1  0,50 Найдите значение $U_0$ параметра Биндера при $T \to 0$ и значение $U_\infty$ при $T \to \infty$.

B1. 1 Значение $U_0 = 2/3$. 0,20
B1. 2 Значение $U_\infty = 0$. 0,30
B2  1,00 Как средний квадрат намагниченности $m^2$ намагниченности зависит от температуры при $L = 10$? Постройте график в зависимости от температуры. Диапазон температур выберите так, чтобы график содержал все характерные особенности функции.

B2. 1 Измерения квадрата намагниченности при температурах $T \in [0.2,\,9]$. 10 × 0,05
B2. 2 На график нанесено не менее 7 точек. 0,30
B2. 3 Оформление графиков (масштаб + подписаны оси). Ставится только при наличии точек. 0,20
B3  4,00 Используя параметр Биндера, как можно точнее определите температуру $T_c$, при которой происходит фазовый переход. Оцените погрешность найденного значения $T_c$.

B3. 1 Для измерения намагниченностей используется как минимум $I = 1000$ итераций алгоритма. 0,50
B3. 2 Идея проводить измерения $U$ при как минимум двух разных значениях размера $L_1$ и $L_2$. 0,30
B3. 3 Точки для $U$ при размере $L_1$ и при $T\in [2,\,3]$. 6 × 0,10
B3. 3 Использовано третье значение размера $L_3$ для увеличения точности. 0,30
B3. 4 Точки для $U$ при размере $L_2$ и при $T\in [2,\,3]$. 6 × 0,10
B3. 5 График зависимостей $U(T)$ для двух разных размеров решетки. 0,40
B3. 6 Получено значение $T_c = 2.23 \pm 0.15$ ( $T_c \in [2.08,\,2.38]$) 1,00
B3. 7 Оценка погрешности $T_c$ 0,30
B4  3,00 Пусть система находится в парамагнитной фазе (температура больше температуры фазового перехода $T_c$). Исследуйте, как магнитная восприимчивость $\chi$ зависит от температуры. Предложите вид зависимости и определите ее параметры.

B4. 1 Для измерения намагниченности используются разумные значения магнитного поля (условия вида $h \sim 0.1$ или $m \sim 0.1$) 0,30
B4. 2 Значения магнитной восприимчивости при различных температурах 7 × 0,10
B4. 3 Предложен вид зависимости магнитной восприимчивости от температуры. 0,40
B4. 4 Построен линеаризованный график $\chi(T)$ в координатах, отвечающих выбранной зависимости 0,50
B4. 5 Значения параметров зависимости 2 × 0,30
B4. 6 Вывод о применимости зависимости вида $\chi(T) \sim (T- T_0)^{-1}$ или $\chi(T) \sim 1/T$ 0,50
C1  2,50 Определите значение корреляционной длины для направления вдоль стороны квадратной решетки. В каком диапазоне расстояний применима экспоненциальная зависимость?

C1. 1 Точки для зависимости $C(l)$ при выбранной температуре. 15 × 0,05
C1. 2 График зависимости $\ln C $ от $l$ 0,50
C1. 3 Оформление графика (масштаб + оси). Ставится только если на график нанесены точки. 0,25
C1. 4 Указан диапазон применимости экспоненциальной зависимости $r \in [3, \, 15]$. 0,50
C1. 5 Значение корреляционной длины $\xi$ 0,50