A0  ^0.20 Определите размер решетки $L$, температуру $T$ и магнитное поле $h$, заданные в программе в качестве параметров по умолчанию.

Запустив программу, с помощью команды 7 находим
$$
L = 100;\qquad T = 10.0; \qquad h =0.
$$

A1  ^0.40 Как время исполнения программы $\tau$ зависит от размера сетки $L$ и от числа повторений алгоритма $I$? Сколько исполнялось $I = 500$ шагов алгоритма на решетке размера $L = 1000$?

На каждом шаге алгоритма совершается $L^2$ операций. Поэтому время пропорционально $\tau \sim I L^2$. При $L = 100$ $I = 100$ операций выполняется за 2 минуты. Тогда в условиях задачи
$$
\tau = 2~мин \times 5 \times 10^2 = 1000~мин \approx 17~часов.
$$

A2  ^0.50 Пронаблюдайте, как распределение магнитных моментов меняется в зависимости от температуры. Оцените температуру $T_c$, при которой происходит фазовый переход.

При больших температурах магнитные моменты расположены хаотично. При низких температурах практически все моменты направлены в одну сторону. В точке фазового перехода соседние моменты начинают группироваться в "капли" сонаправленных магнитных моментов. Это происходит при температуре порядка $2.5$.

A3  ^0.20 Какое число шагов алгоритма $I$ требуется, чтобы от начального случайного распределения получить равновесное распределение при $T= 1.5$, $h=0.1$? Размер решетки по умолчанию.

Запустив моделирование и посмотрев на график намагниченности от числа шагов, находим, что намагниченнось сходится к среднему значению за $I \sim 50 $ шагов.

A4  ^0.70 В этой задаче придется много работать со случайными величинами. Чтобы получить разумные ответы, важно правильно оценивать случайные погрешности. В качестве примера рассмотрим сетку размера $L = 5$ при температуре $T = 3.66$. Как погрешность определения $m^2$ зависит от числа шагов алгоритма $I$? Определите $m^2$ с погрешностью не выше $0.01$.

Вся погрешность определения $m^2$ возникает из-за случайных отклонений. Это означает, что погрешность спадает с числом усредняемых слагаемых как $1/\sqrt{I}$. Тогда требуемое число шагов можно оценить как $I\sim 10^4$. Используя такое число шагов находим $m^2 = 0.205 \pm 0.010$. Запустив программу насколько раз, убеждаемся, что наша оценка погрешности действительно справедлива.

B1  ^0.50 Найдите значение $U_0$ параметра Биндера при $T \to 0$ и значение $U_\infty$ при $T \to \infty$.

При $T \to 0$ практически все моменты сонаправлены и $\langle m^4 \rangle = \langle m^2 \rangle =1$. Тогда $U_0 = 2/3$. При больших температурах направления всех магнитных моментов практически независимы. Поэтому намагниченность представляет собой сумму большого числа независимых величин, а значит распределена по Гауссу. Тогда $U_\infty = 0$. Эти же результаты можно получить из численного моделирования при достаточно малых и достаточно больших температурах.

B2  ^1.00 Как средний квадрат намагниченности $m^2$ намагниченности зависит от температуры при $L = 10$? Постройте график в зависимости от температуры. Диапазон температур выберите так, чтобы график содержал все характерные особенности функции.

Снимем зависимость $m^2 (T)$, используя для усреднения $I = 10^4$ шагов алгоритма в интервале температур $T \in [1.5,\,4.5]$. Получим график

B3  ^4.00 Используя параметр Биндера, как можно точнее определите температуру $T_c$, при которой происходит фазовый переход. Оцените погрешность найденного значения $T_c$.

Построим график зависимости параметра Биндера от температуры для двух различных размеров решетки, например $L =5$ и $L = 10$.
Вблизи точки фазового перехода эти зависимости можно аппроксимировать линейными. Находя точку пересечения соответствующих прямых, получаем $T_c \approx 2.21$. Для того, чтобы добиться хорошей точности, каждую точку требуется измерять, усредняя по $I \sim 10^4$ итерациям алгоритма.

У этой задачи также есть точное аналитическое решение. Из этого решения следует $T_c = 2/ \ln(1+ \sqrt{2}) \approx 2.23$ .

B4  ^3.00 Пусть система находится в парамагнитной фазе (температура больше температуры фазового перехода $T_c$). Исследуйте, как магнитная восприимчивость $\chi$ зависит от температуры. Предложите вид зависимости и определите ее параметры.

Будем рассматривать температуры $T>3$. Для измерения магнитной восприимчивости будем включать небольшое магнитное поле $h \sim 0.1$. Величина поля должна быть не слишком большой, чтобы зависимость намагниченности линейно зависела от поля. С другой стороны, она должна быть не слишком маленькой, чтобы изменение намагниченности превышало погрешность, с которой она измеряется. Тогда магнитную восприимчивость можно определить как $\chi = \Delta m/h$. Построив график $1/\chi(T)$ получим линейную зависимость. Таким образом
$$
\chi (T) = \frac{\alpha}{T-T_0}.
$$
Константы $\alpha$ и $T_0$ зависят от выбранного размера решетки.

C1  ^2.50 Определите значение корреляционной длины для направления вдоль стороны квадратной решетки. В каком диапазоне расстояний применима экспоненциальная зависимость?

Возьмем $L = 100$, $T = T_c = 2.23$, $h=1$. Проделаем $I = 200$ итераций алгоритма, чтобы система пришла в тепловое равновесие. Снимем зависимость $C(l)$ при $l \in [1,\,30]$ и построим график $\ln C$ от $l$. Из графика находим, что зависимость приближенно линейна при $l \in [3, \,15]$, из наклона графика находим корреляционную длину $\chi \approx 8$. Отметим, что значение корреляционное длины сильно зависит от температуры.