При движении груза влево от точки $(1)$ (см. рисунок) закон сохранения энергии имеет вид:
$$
\frac{m v_{0}^{2}}{2}+\frac{k l^{2}}{2}=\frac{k l_{1}^{2}}{2}+\mu m g\left(l+l_{1}\right), \quad (1)
$$
где $l_{1}$ – максимальное сжатие пружины.
При движении груза вправо от точки $(2)$ имеем
$$
\frac{k l_{1}^{2}}{2}=\frac{k l^{2}}{2}+\mu m g\left(l+l_{1}\right). \quad (2)
$$
Из $(1)$ и $(2)$, находим
$$
\frac{m v_{0}^{2}}{2}=2 \mu m g\left(l+l_{1}\right). \quad (3)
$$
Из уравнений $(3)$ и $(1)$ можем найти максимальное сжатие $l_{1}$ пружины:
$$
l_{1}=l+2 \mu \frac{m g}{k}. \quad (4)
$$
Подставляя полученное выражение для $l_{1}$ в $(3)$, получим:
$$
\frac{m v_{0}^{2}}{2}=4 \mu m g\left(l+\frac{\mu m g}{k}\right),
$$
откуда
$$
v_{0}=\sqrt{8 \mu g\left(l+\frac{\mu m g}{k}\right)}.
$$
Заметим, что задача имеет решение, если $l>\frac{\mu m g}{k}$. Область $-\frac{\mu m g}{k} \leq x \leq \frac{\mu m g}{k}$ называется зоной застоя.