Пусть в некоторый произвольный момент времени поршень движется влево. Его смещение равно $x$, скорость $u(x)=\Delta x / \Delta t$. Обозначим скорость левого шарика в этот момент через $v$ (см. рисунок).
При каждом отскоке шарика от поршня скорость шарика увеличивается на $2u$. За малое время $\Delta t$ число ударов о поршень равно
$$
\Delta N=\Delta t\left(\frac{2(l-x)}{v}\right)^{-1}=\frac{v \Delta t}{2(l-x)},
$$
где $l$ – расстояние между поршнем и стенкой при равновесии. Полное изменение скорости шарика за это время равно $\Delta v=2 u \Delta N=\frac{v \Delta x}{l-x}$. Получаем уравнение относительно $v$ и $x$:
$$
\frac{\Delta v}{v}=\frac{\Delta x}{l-x}.
$$
Строгое решение этого уравнения приводит к соотношению:
$$
v(x)(l-x)=v_{0} I=\operatorname{const},
$$
где $v_{0}$ – скорость шарика при равновесном положении поршня $(x=0)$. Этот же результат получим и при малых смещениях поршня, если положить, что $\Delta x \approx x$, a $v \approx v_{0}$. Тогда $\Delta v=\frac{v_{0} x}{l-x}$, а
$$
v(x)=v_{0}+\Delta v=v_{0} \frac{l}{l-x}.
$$
Найдем силу $F_{1}$, действующую в этот момент на поршень со стороны левого шарика. Число ударов шарика о поршень в единицу времени
$$
N=\frac{v}{2(l-x)}=\frac{v_{0} l}{2(l-x)^{2}}.
$$
При каждом ударе изменение импульса шарика
$$
\Delta p=-2 m v=-\frac{2 m v_{0} l}{l-x}.
$$
Поэтому
$$
F_{1}=\frac{m v_{0}^{2} l^{2}}{(l-x)^{3}}.
$$
Аналогично сила со стороны правого шарика
$$
F_{2}=\frac{m v_{0}^{2} l^{2}}{(l+x)^{3}}.
$$
При $\frac{x}{l} \ll 1$.
$$
F_{1} \approx \frac{m v_{0}^{2}}{l}\left(1+\frac{3 x}{l}\right), F_{2}=\frac{m v_{0}^{2}}{l}\left(1-\frac{3 x}{l}\right).
$$
Уравнение движения поршня:
$$
M \ddot{x}=F_{2}-F_{1}=-\frac{6 m v_{0}^{2} x}{l^{2}}.
$$
Поскольку равновесная частота $f=v_{0} /(2 l)$, то уравнение движения будет иметь вид
$$
\ddot{x}+24 f^{2} \frac{m}{M} x=0.
$$
Следовательно, круговая частота равна $\omega=2 \sqrt{6} f \sqrt{\frac{m}{M}}$, а период
$$
T=\frac{\pi}{\sqrt{6}} \sqrt{\frac{M}{m}} \frac{1}{f}.
$$