Пусть $p_{а}$ –атмосферное давление, $S$ – площадь поршня, $H$ и $2 H$ – начальные высоты соответственно столбов ртути и газа, $x$ – высота газа в новом равновесном положении поднявшегося поршня. Найдем выражение для подведенного количества теплоты $Q$ в зависимости от $x$.
Давление в газе складывается из атмосферного и давления столба ртути высотой $3 H-x$:
$$
p_{x}=\frac{4 H-x}{H} p_{а}. \quad (1)
$$
Температуру $T_{x}$ газа для того момента, когда поршень находится на высоте $x$, найдем из уравнения Менделеева-Клапейpoнa:
$$
\frac{p_{x} S x}{T_{x}}=\frac{2 p_{а} S 2 H}{T_{1}}.
$$
Отсюда с учетом выражения $(1)$ имеем
$$
T_{x}=\frac{(4 H-x) x}{4 H^{2}} T_{1}.
$$
Изменение внутренней энергии газа, произошедшее при подъеме поршня до высоты $x$, равно
$$
\Delta U=\nu C_{V}\left(T_{x}-T_{1}\right)=-\left(\frac{x-2 H}{2 H}\right)^{2} \nu C_{V} T_{1}=-\frac{3(x-2 H)^{2}}{8 H^{2}} \nu R T_{1}. \quad (2)
$$
Здесь $C_{V}=3 R / 2$.
Работа газа при линейном (по $x$) изменении давления от $2 p_{а}$ до $p_{x}$ равна
$$
A=\frac{2 p_{а}+p_{x}}{2}(x S-2 H S)=\frac{(6 H-x)(x-2 H)}{2 H} p_{а} S.
$$
Так как в начальном положении
$$
2 p_{а} \cdot 2 H S=\nu R T_{1},
$$
то
$$
A=\frac{(6 H-x)(x-2 H)}{8 H^{2}} \nu R T_{1}. \quad (3)
$$
По закону сохранения энергии $Q=\Delta U+A$.
С учетом выражений $(2)$ и $(3)$ имеем
$$
\begin{aligned}
&Q=\left(-x^{2}+5 H x-6 H^{2}\right) \frac{\nu R T_{1}}{2 H^{2}}= \\
&=(x-2 H)(3 H-x) \nu R T_{1} 2 H^{2}.
\end{aligned}
$$
Формальная подстановка $x=3 H$ дает неверный ответ: $Q=0$.
Рассмотрим график зависимости $Q(x)$ (см. рисунок).
Для достижения равновесного положения системы при $x=2.5 H$ надо подать максимальное количество теплоты $Q_{0}=\frac{\nu R T_{1}}{8} \approx 312~Дж$. Для достижения равновесных положений при $x>2.5 H$ необходимо $Q<Q_{0}$. Это значит, что после того как газу сообщат количество теплоты $Q_{0}$ и поршень достигнет высоты $x=2.5 H$, газ начнет самопроизвольно расширяться и вытеснит всю ртуть.
Итак, $Q_{\min }=\frac{\nu R T_{1}}{8} \approx 312~Дж$.