Рассмотрим произвольный момент времени после замыкания ключа $K$. Пусть в этот момент через перемычку течет ток $I$, а скорость перемычки равна $v$ (см. рисунок).
Уравнение движения перемычки:
$$
m \frac{d v}{d t}=I l B. \quad (1)
$$
Перепишем это уравнение в виде
$$
m d v=l B I d t=-l B d q=-l B C d U, \quad (2)
$$
где $q$ – заряд, а $U$ – напряжение на конденсаторе. Проинтегрируем соотношение $(2)$:
$$
\int \limits_{0}^{v} d v=-\int \limits_{U_{0}}^{U} \frac{l B C}{m} d U, \text { т.e. } v=\frac{l B C}{m}\left(U_{0}-U\right). \quad (3)
$$
Здесь $U_{0}$ – начальное напряжение на конденсаторе. Запишем закон Ома для замкнутой цепи: $l B v=U-I R$. Выразим из этого уравнения силу тока $I$ и подставим в уравнение $(1)$. Уравнение $(1)$ будет иметь вид:
$$
\frac{d v}{d t}+\frac{(l B)^{2}}{m R} v=\frac{l B U}{m R}.
$$
После подстановки выражения $U$ из $(2)$ окончательно получим уравнение движения перемычки:
$$
\frac{d v}{d t}+\left[\frac{(l B)^{2}}{m R}+\frac{1}{R C}\right] v=\frac{l B U_{0}}{m R}. \quad (4)
$$
Для определения $U_{0}$ по заданному на рисунке ниже графику $v(t)$ найдем при $t=0$ ускорение $a_{0}$ перемычки $(a_{0}$ равно угловому коэффициенту касательной к $v(t)$, $a_{0} \simeq (0.43 \pm 0.14)~м/с^{2})$.
Используя уравнение $(4)$, вычислим $U_{0}$:
$$
U_{0}=\frac{a_{0} m R}{l B}=(100 \pm 10)~В.
$$
Для нахождения емкости $C$ выберем еще одну точку $(t \neq 0)$ и найдем скорость $v_{1}$ и ускорение $a_{1}$ перемычки для этого момента времени. Из уравнения $(4)$ вычислим емкость конденсатора $C$ :
$$
C=\left[\frac{R}{v_{1}}\left(\frac{l B U_{0}}{m R}-a_{1}\right)-\frac{(l B)^{2}}{m}\right]^{-1}=(1 \pm 0.1) \cdot 10^{-3}~Ф.
$$
Установившаяся скорость перемычки равна
$$
v_{уст}=\frac{l B U_{0}}{m}\left[\frac{(l B)^{2}}{m}+\frac{1}{C}\right]^{-1}=(14.3 \pm 1.5)~м/с.
$$
Погрешности полученных результатов обусловлены в основном неточностью определения тангенса угла наклона прямых $\alpha$ и $\beta$.