Направим ось $x$ вдоль шин, совместив начало координат с начальным положением перемычки. Пусть $x$ — координата перемычки, $v_{x}$ — проекция скорости на ось $x$, $I$ — сила тока через перемычку. По второму закону Ньютона
\begin{equation}
m \frac{d v_{x}}{d t}=-B I l;\tag1
\end{equation}
По закону Ома
\begin{equation}
B v_{x} l-L \frac{d I}{d t}=0.\tag2
\end{equation}
Продифференцируем уравнение $(1)$ по времени и подставим в него $\frac{d I}{d t}$ из уравнения $(2)$:
$$
\frac{d^{2} v_{x}}{d t^{2}}+\frac{B^{2} l^{2}}{m L} v_{x}=0.
$$
Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний для $v_{x}$ с частотой $\omega=\sqrt{\frac{B^{2} l^{2}}{m L}}$.
Скорость перемычки изменяется по закону $v_{x}=v_{0} \cos \omega t$. Перемычка совершает гармонические колебания $x=\frac{v_{0}}{\omega} \sin \omega t$ с периодом (искомое характерное время) $T=2 \pi \sqrt{\frac{m L}{B^{2} l^{2}}}$ и амплитудой (максимальное удаление от начального положения) $A=\frac{v_{0} \sqrt{m L}}{B l}$.