Направим ось $O x$ вдоль оси пружины. Начало координат совместим с центром масс тела, соединенного с недеформированной пружиной. Пусть под действием вынуждающей силы $F(t)=F_{0} \cos (\omega t+\beta)$ тело совершает вынужденные колебания с частотой $\omega$ и амплитудой $A$. Тогда координата $x$, скорость и ускорение тела будут соответственно равны:
\begin{array}{l}
x=A \cos (\omega t+\alpha),
\\
v_{x}=-\omega A \sin (\omega t+\alpha),
\\
a_{x}=-\omega^{2} A \cos (\omega t+\alpha).
\end{array}
По условию,
$$
\frac{m v_{0}^{2}}{2}=\frac{m \omega^{2} A^{2}}{2} \sin ^{2}(\omega t+\alpha)+\frac{k A^{2}}{2} \cos ^{2}(\omega t+\alpha).
$$Это равенство будет выполняться при любом $t$, если $m \omega^{2}=k$. Отсюда $\omega=\sqrt{k / m}$ и $A=v_{0} \sqrt{m / k}$. Подставим в уравнение второго закона Ньютона
$$
m a_{x}=-\gamma v_{x}-k x+F \cos (\omega t+\beta)
$$записанные выше выражения для $x$, $v_{x}$, $a_{x}$, $\omega$ и $A$. После преобразований имеем:
$$
\gamma v_{0} \sin (\omega t+\alpha)=F_{0} \cos (\omega t+\beta).
$$Если это равенство выполняется при любых $t$, то $\alpha$ и $\beta$ связаны соотношением $\alpha+\frac{\pi}{2}=\beta$, а искомая сила $F_{0}=\gamma v_{0}$.