Запишем второй закон Ньютона для груза на пружинах:
$$
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-m g \cos \alpha+F, \quad (1)
$$
где $F$ – сила, действующая на груз со стороны пружин. Ускорение груза $\frac{d^{2} x}{d t^{2}}$, совершающего гармонические колебания, выражается соотношением
$$
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-A \omega^{2} \sin \omega t, \omega=\frac{2 \pi}{T}.
$$
Сила реакции наклонной плоскости, действующая на ящик,
$$
N=(M-m) g \cos \alpha+F. \quad (2)
$$
Подставив в $(2)$ выражение для $F$ из $(1)$, получим
$$
N=M g \cos \alpha-m A \omega^{2} \sin \omega t. \quad (3)
$$
Ящик не будет подпрыгивать, если в любой момент времени $N>0$, что выполняется при условии $M g \cos \alpha>\omega^{2} A m$, т.е. при
$$
\frac{M}{m}>\frac{4 \pi^{2}}{g T^{2}} \frac{A}{\cos \alpha}.
$$
Поскольку, согласно условию задачи, $\mu=\operatorname{tg} \alpha$, то всегда $F_{тр}=\mu N$. Следовательно, для любого момента времени
$$
a(t)=\frac{M g \sin \alpha-\mu N}{M}=\mu \frac{m}{M} A \omega^{2} \sin \omega t.
$$
Скорость движения ящика
$$
v(t)=\int \limits_{0}^{t} a(t) d t=\mu \frac{m}{M} A \omega(1-\cos \omega t). \quad (4)
$$
Из $(4)$ видно, что скорость ящика изменяется с периодом $T$, поэтому средняя скорость за большое время равна
$$
v_{ср}=\frac{1}{T} \int \limits_{0}^{T} v(t) d t=2 \pi \frac{A m}{T M} \operatorname{tg} \alpha.
$$