Пусть $G$ – место нахождения жука на палочке, $M$ – середина палочки, $G K=h$ – высота жука над полом, $O N=H$ – расстояние от угла $O$ до палочки (см. рисунок), $t$ – время, прошедшее с начала движения жука, тогда:
$$
O B=v t, \quad B G=u t, \quad A M=O M=\frac{L}{2}.
$$
Треугольники $O N B$ и $G K B$ подобны, так как они прямоугольные и угол $\beta$ общий, поэтому:
$$
\frac{G K}{O N}=\frac{B G}{O B}, \quad \text { или } \quad \frac{h}{H}=\frac{u t}{v t}=\frac{u}{v},
$$
откуда
$$
h=H \frac{u}{v} .
$$
В прямоугольном треугольнике $O M N$ катет $O N=H \leqslant O M=\frac{L}{2}$ ($ОМ$ гипотенуза), причем равенство достигается при $\beta=45^{\circ}$. Следовательно,
$$
h_{\max }=H_{\max } \frac{u}{v}=\frac{L}{2} \frac{u}{v}.
$$
Этот результат верен, если за время $t_{\max }=\frac{L \cos 45^{\circ}}{v}$ жук не успевает доползти до верхнего конца палочки, то есть когда $u t_{\max }<L$, что эквивалентно неравенству $u \leqslant v \sqrt{2}$. В противном случае высота $h$ будет максимальной к моменту времени $t=\frac{L}{u}$ достижения жуком точки $A$ :
$$
h_{\max }=\sqrt{L^{2}-(v t)^{2}}=L \sqrt{1-\frac{v^{2}}{u^{2}}} .
$$