1  ^?? С какой силой шар действует на стержень?

Пусть объем шара равен $V$, его масса $\rho_{0} V$. Hа шар действуют сила тяжести $\rho_{0} V g$, сила $N$ со стороны стержня, сила Архимеда, которую для удобства разложим на вертикальную и горизонтальную составляющие $F_{A_{y}}$ и $F_{A_{x}}$ (см. рисунок).

Ускорение шара направлено к оси вращения и равно $a=\omega^{2} l \cos \alpha$. Здесь $\omega$ – угловая скорость вращения платформы. Запишем уравнения движения для шара в проекция на оси $x$ и $y$:
$$
\begin{gathered}
F_{A_{z}} - N \sin \alpha=\rho_{0} V a,
\\
F_{A_{y}} - \rho_{0} V g - N \cos \alpha=0.
\end{gathered}
$$
Мысленно удалим шар и заполним объем, который он занимал, водой. Водяной шар должен находиться в равновесии внутри жидкости и вращаться вместе с ней. Сила Архимеда $F_{A}$, действующая на водяной шар, и ее проекции на оси $x$ и $y$ остаются прежними, а сила, действующая на водяной шар со стороны стержня, равна нулю. Запишем для водяного шара уравнения движения в проекциях на оси $x$ и $y$:
$F_{A_{x}}=\rho V a$, $F_{A_{y}} - \rho V g=0$. Из записанных уравнений находим силу $N$ и угловую скорость $\omega$:
$$
N=\frac{\left(\rho-\rho_{0}\right) V g}{\cos \alpha}, \omega=\sqrt{\frac{g \sin \alpha}{l \cos ^{2} \alpha}}=\sqrt{\frac{g \operatorname{tg} \alpha}{l \cos \alpha}}.
$$
C такой же силой $N$ шap действует на стержень.

2  ^?? Найдите угловую скорость вращения платформы.

3  ^?? При какой минимальной угловой скорости вращения шар «утонет» и окажется на дне сосуда?

Из анализа полученной зависимости между $\omega$ и $l$ следует, что с увеличением $\omega$ расстояние $l$ уменьшается. Шар «утонет» при угловой скорости, которой соответствует $l=\frac{R}{\sin \alpha}$:
$$
\omega_{\min}=\operatorname{tg} \alpha \sqrt{\frac{g}{R}} .
$$