Какой должна быть высота уровня жидкости $H>0$ над основанием конуса, чтобы пробка не всплывала?

Представим себе, что верхняя часть пробки полностью погружена в жидкость, которая может подтекать и под эту половину. Тогда на эту воображаемую половину пробки со стороны жидкости действовали бы:

• сила давления на верхнюю поверхность $F_{1}$ (направлена вниз);
• равнодействующая сил давления на боковую поверхность $F_{3}$ (направлена вверх);
• сила давления на нижнюю поверхность $F_{2}=\rho g\left(H+\frac{L}{2}\right) \frac{S}{4}$ (направлена вверх).

По закону Архимеда, суммарная сила, действующая на воображаемую половину пробки, была бы равна $$ F_{A}^{\prime}=\rho g V^{\prime}=\rho g \frac{7}{8} \frac{L S}{3}=F_{2}+F_{3}-F_{1}, $$ где $V$ — объем верхней части пробки. Однако в реальности на пробку со стороны жидкости действуют только силы $F_{1}$ и $F_{3}$. Их равнодействующая $$ R=F_{3}-F_{1}=F_{2}-\rho g \frac{7}{8} \frac{L S}{3}=\rho g S\left(\frac{H}{4}-\frac{L}{6}\right). $$ Пробка не будет всплывать, если сумма силы тяжести и равнодействующей $R$ направлена вниз, т. е. $$ \rho g S\left(\frac{H}{4}-\frac{L}{6}\right)+\rho_{0} g \frac{L S}{3} \geqslant 0. $$ Это условие можно записать как $$ H \geqslant \frac{2}{3} L\left(1-\frac{2 \rho_{0}}{\rho}\right). $$ Если $2 \rho_{0}>\rho$, пробка не всплывет при любом неотрицательном значении $H$.

Какую минимальную внешнюю силу $F$, направленную вверх, нужно в этом случае приложить к пробке, чтобы ее вытащить?

Чтобы вытащить пробку, нужно приложить минимальную силу
$$
F=\rho g S\left(\frac{H}{4}-\frac{L}{6}\right)+\rho_{0} g \frac{L S}{3}.
$$