1  ^?? Какой скорости $V_{1}$ достигли бы санки, пройдя путь $S$, если бы цилиндр был заторможен в оси и не мог вращаться?

В обоих случаях ускорение санок $a=\frac{F}{M}= \mathrm{const}$, поэтому их скорость
$$
V_{1}=V_{2}=V=\sqrt{2 a S}=\sqrt{\frac{2 F S}{M}}.
$$

2  ^?? Какой скорости $V_{2}$ достигли санки, пройдя путь $S$, при незаторможенном цилиндре?

$$
V_{2} = V_{1}.
$$

3  ^?? Какую работу совершил мальчик при незаторможенном цилиндре?

Покажем, что для любой системы материальных точек массами $m_{1}$ кинетическая энергия системы
$$
K=\frac{m V_{c}^{2}}{2}+\frac{1}{2} \sum m_{i} v_{i}^{2},
$$
где $m=\sum m_{i}$ – масса системы, $V_{c}$ – скорость ее центра масс, $v_{i}$ – скорость $i$-той материальной точки в системе отсчета, движущейся поступательно со скоростью центра масс. Пусть $V_{i}$ – скорости точек в неподвижной системе отсчета, тогда кинетическая энергия
$$
\begin{gathered}
K=\frac{1}{2} \sum m_{i} V_{i}^{2}=\frac{1}{2} \sum m_{i}\left(\vec{V}_{c}+\vec{v}_{i}\right)^{2}=\frac{1}{2} \sum m_{i} V_{c}^{2}+\frac{1}{2} \sum m_{i} v_{i}^{2}+ \\
+\vec{V}_{c} \sum m_{i} \vec{v}_{i}=\frac{1}{2} \sum m_{i} V_{c}^{2}+\frac{1}{2} \sum m_{i} v_{i}^{2}
\end{gathered}
$$
так как в системе отсчета центра масс импульс системы $\sum m_{i} \vec{v}_{i}=0$.
Запишем закон сохранения механической энергии:
$$
A=M \frac{V^{2}}{2}+m \frac{v^{2}}{2},
$$
где $v$ – скорость точек цилиндра в системе отсчета, движущейся поступательно со скоростью санок, откуда
$$
\Delta A=F \Delta x=\frac{1}{2} M 2 V \Delta V+\frac{1}{2} m 2 v \Delta v .
$$
За время $\Delta t$ перемещение мальчика
$$
\Delta x=V \Delta t+v \Delta t .
$$
Запишем закон изменения импульса для санок с цилиндром:
$$
F \Delta t=M \Delta V .
$$
Из последних трех уравнений находим:
$$
M \Delta V=m \Delta v .
$$
В задаче $\Delta V = V$ и $\Delta v = v$, следовательно, $v=\frac{V M}{m}$. Тогда
$$
A=F S\left(1+\frac{M}{m}\right).
$$