Результирующая сила $\vec{F}$, действующая на частицу со стороны полей $\vec{E}$ и $\vec{g}$, постоянна по модулю и направлению. Сила Лоренца не совершает работы, поэтому частица должна двигаться в плоскости, перпендикулярной силе $F$, чтобы не изменялась абсолютная величина ее скорости. Вектор магнитной индукции тоже лежит в этой плоскости, значит, частица движется прямолинейно, то есть результирующая всех сил равна нулю. Запишем это условие в проекции на ось $O x$ :
$$
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=q E-q v_{z} B=0, \text { откуда } v_{z}=\frac{E}{B} .
$$
Когда кинетическая энергия достигает минимума, скорость частицы направлена горизонтально. В начальный момент времени кинетическая энергия частицы в $2$ раза больше, значит, вертикальная и горизонтальная составляющие начальной скорости одинаковые.
Поэтому $v_{0}=\sqrt{2} v_{z}=\frac{E \sqrt{2}}{B}$. При движении в скрещенных полях силы, действующие на частицу вдоль оси $O z$, скомпенсированы:
$$
m g=q v_{x} B, \text { откуда } v_{x}=\frac{m}{q} \frac{g}{B} .
$$
Составляющую скорости $v_{y}$ найдем из условия $v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}=v_{0}^{2}$. Откуда следует
$$
v_{y}=\sqrt{\left(\frac{E}{B}\right)^{2}-\left(\frac{m}{q} \frac{g}{B}\right)^{2}} .
$$