Перейдем в систему отсчета, равномерно движущуюся вместе с паровозом. Очевидно, что пока ящик не проскальзывает, он движется по окружности радиуса $l=\frac{R}{2}$. Вектор ускорения направлен к центру окружности и равен $\omega^{2} l$. Пусть $m$ – масса ящика, $N$ – нормальная реакция опоры, $\omega$ – угловая скорость вращения колес, $\varphi$ – угол, который спица в данный момент образует с горизонтом. Условие отсутствия проскальзывания ящика можно записать в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:
$$
O x: m \omega^{2} l \cos \varphi \leqslant \mu N,
$$
$$
O y: m \omega^{2} l \sin \varphi=m g-N,
$$
откуда
$$
\omega^{2} l \cos \varphi \leqslant \mu\left(g-\omega^{2} l \sin \varphi\right) \text{ или } \omega^{2} l(\cos \varphi+\mu \sin \varphi) \leqslant \mu g.
$$
Выражение $f(\varphi)=(\cos \varphi+\mu \sin \varphi)$ максимально при $\varphi=\varphi_{0}$, которое находится из условия
$$
f^{\prime}\left(\varphi_{0}\right)=-\sin \varphi_{0}+\mu \cos \varphi_{0}=0,
$$
откуда $\operatorname{tg} \varphi_{0}=\mu$. Внимание! Угол $\varphi_{0}$ может лежать как в $1$, так и во $2$ квадранте верхней полуплоскости.
Но можно обойтись и без производных, введя вспомогательный угол $\psi$:
$$
\operatorname{tg} \psi = \mu.
$$
Тогда
$$
f(\varphi)=\cos \varphi+\frac{\sin \psi}{\cos \psi} \sin \varphi=\frac{\cos (\varphi-\psi)}{\cos \psi}.
$$
Это выражение принимает максимальное значение при $\varphi=\psi$.
Выражая $\sin \varphi_{0}$ и $\cos \varphi_{0}$ через $\mu$, найдем $f\left(\varphi_{0}\right)=\sqrt{1+\mu^{2}}$ и преобразуем условие отсутствия проскальзывания:
$$
\frac{\omega^{2} l}{g} \leqslant \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^{2}}},
$$
откуда
$$
v_{1}=\omega_{1} R=\sqrt{\frac{2 g R \mu}{\sqrt{1+\mu^{2}}}} \approx 3.0~м/с.
$$
Если скорость превысит это значение, ящик сдвинется относительно штанги. Ящик начнет подпрыгивать, когда вертикальное ускорение штанги в верхней точке превысит ускорение свободного падения:
$$
\omega^{2} l \geqslant g, \text { откуда } v_{2}=\omega_{2} R=\sqrt{2 g R}=4.43~м/с.
$$