Касательная к проволоке в точке $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ — положении равновесия бусинки — составляет угол $\alpha_{0}$ с осью $O x$, причем $\operatorname{tg} \alpha_{0}=y_{x}^{\prime}\left(x_{0}\right)=3 a x_{0}^{2}$. $\quad (1)$
Второй закон Ньютона в проекции на эту касательную имеет вид (см. рисунок):
$$
m \omega^{2} x_{0} \cos \alpha_{0}=m g \sin \alpha_{0}. \quad (2)
$$
Из $(1)$ и $(2)$ находим $x_{0}=\frac{\omega^{2}}{3 a g}$, $y\left(x_{0}\right)=\frac{\omega^{6}}{27 a^{2} g^{3}}$.
Пусть $\Delta x$ и $\Delta y$ — смещения бусинки при малых колебаниях, тогда
$$
\Delta y=a\left(x_{0}+\Delta x\right)^{3}-a x_{0}^{3} \approx 3 a x_{0}^{2} \Delta x+3 a x_{0} \Delta x^{2}.
$$
Малое смещение бусинки вдоль проволоки
$$
s \approx \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=\sqrt{1+y_{x}^{\prime}\left(x_{0}\right)^{2}} \Delta x=\sqrt{1+\frac{\omega^{8}}{9 a^{2} g^{4}}} \Delta x .
$$
В системе отсчета, вращающейся вместе с проволокой, кинетическая энергия бусинки
$$
E_{к}=\frac{m}{2}\left(\frac{d s}{d t}\right)^{2};
$$
потенциальная энергия в полях силы тяжести и центробежной силы
$$
E_{п}=m g\left(y_{0}+\Delta y\right)-\frac{m \omega^{2}}{2}\left(x_{0}+\Delta x\right)^{2}=
\\
=m g y_{0}+m g\left(3 a x_{0}^{2} \Delta x+3 a x_{0} \Delta x^{2}\right)-\left(\frac{m \omega^{2}}{2} x_{0}^{2}+m \omega^{2} x_{0} \Delta x+\frac{m \omega^{2}}{2} \Delta x^{2}\right) .
$$
Из $(1)$ и $(2)$ следует $3 a x_{0}^{2} m g \Delta x=m \omega^{2} x_{0} \Delta x$, поэтому
$$
E_{п}=C+\frac{m \omega^{2}}{2} \Delta x^{2}, \text { где } C=m g y_{0}-\frac{m}{2} \omega^{2} x_{0}^{2} .
$$
Выразим полную механическую энергию через $s$:
$$
E=\frac{m}{2}\left(\frac{d s}{d t}\right)^{2}+\frac{m \omega^{2}}{2} \frac{s^{2}}{1+\frac{\omega^{8}}{9 a^{2} g^{4}}}+C .
$$
Энергия гармонических колебаний имеет вид $E=\frac{m v^{2}}{2}+\frac{k x^{2}}{2}+C$, что соответствует нашему случаю $(k$ — эффективная жесткость $)$. Период колебаний
$$
T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}=\frac{2 \pi}{\omega} \sqrt{1+\frac{\omega^{8}}{9 a^{2} g^{4}}}.
$$