Нарисуем все силы, действующие на доску (см. рисунок ниже). Выбираем систему координат такую, что ось $x$ направлена вдоль доски.
В этой системе координат можно записать следующую систему уравнений:
\begin{equation}
F_{1}=\mu N_{1}, \quad F_{2}=\mu N_{2},\tag1\end{equation}\begin{equation}
m a=F_{1}-F_{2}+m g \sin \alpha,\tag2\end{equation}\begin{equation}
0=N_{1} b-N_{2} b+m g x \cos \alpha.\tag3\end{equation}Подставляя $F_{1}$ и $F_{2}$ в $(2)$ и решая систему из двух уравнений $(2)$ и $(3)$ относительно $x$, получаем уравнение:\begin{equation}
a+\omega^{2} x=g \sin \alpha,\quad \text {где}\quad \omega^{2}=\frac{\mu g}{b} \cos \alpha.\tag4\end{equation}Введем новую переменную $y$ следующим образом:
$$
x=y+\frac{g \sin \alpha}{\omega^{2}}.
$$Тогда уравнение $(4)$ можно привести к виду $a+\omega^{2} y=0$. Это уравнение является уравнением колебаний и имеет решение
$$
y=y_{0} \cos (\omega t+\varphi) \quad\text {или}\quad x=y_{0} \cos (\omega t+\varphi)+\frac{g \sin \alpha}{\omega^{2}} .
$$Определим значения постоянных $y_{0}$ и $\varphi$ из начальных условий $x|_{t-0}=0$, $v|_{t-0}=0$.
Равенство нулю скорости в начальный момент приводит к равенству нулю начальной фазы $\varphi$. С учетом этого условия и равенства нулю координаты центра доски в начальный момент получаем
$$
y_{0}=-\frac{g \sin \alpha}{\omega^{2}}.
$$Таким образом, закон движения доски будет
$$
x(t)=\frac{g \sin \alpha}{\omega^{2}}(1-\cos \omega t)=b \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\mu}(1-\cos \omega t) .
$$Так как по условию задачи доска достаточно длинная, то колебательное движение доски возможно только при условии, что центр доски не выйдет за пределы точек опоры на барабаны: $-b < x < b$, откуда $\mu > 2 \operatorname{tg} \alpha$. В противном случае доска потеряет устойчивость.
Окончательно, закон движения центра доски:
$$
x(t)=b \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\mu}(1-\cos \omega t) \quad\text {при}\quad \mu > 2 \operatorname{tg} \alpha.
$$