Рассмотрим силы, действующие на «боковые» шарики при равновесии (см. рисунок ниже). Верхние спицы растянуты, а нижние сжаты одинаковыми по модулю силами.
На нижний шарик действует упругая сила пружины $F=2 m g$ (см. рисунок ниже).
$$
k x_{0}=2 m g, \quad x_{0}=\frac{2 m g}{k}; \quad l_{0}=\sqrt{2} l-x_{0},
$$
где $x_{0}$ – удлинение пружины.
Сместим нижний шарик вниз на расстояние $x \ll l$. Тогда боковые шарики сместятся на $\frac{x}{2}$. Изменение потенциальной энергии системы:
$$
\Delta E_{пот}=\frac{k\left(x+x_{0}\right)^{2}}{2}-\frac{k x_{0}^{2}}{2}-m g x-2 m g \frac{x}{2}=\frac{k x^{2}}{2}.
$$
Пусть нижнему шарику сообщена скорость $v$, направленная вертикально. Тогда боковые шарики приобретут скорость $\frac{v}{2}$ в вертикальном направлении и такую же скорость в горизонтальном направлении. Полная скорость каждого шарика окажется равной $v \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{v}{\sqrt{2}}$. Следовательно,
$$
\Delta E_{кин}=\frac{m v^{2}}{2}+2 \cdot \frac{m v^{2}}{2 \cdot 2}=m v^{2}.
$$
Изменение энергий: $\Delta E_{пот}=\frac{k x^{2}}{2}=A x^{2}$, $\Delta E_{кин}=m v^{2}=B v^{2}$, откуда
$$
\omega_{0}^{2}=\frac{A}{B}=\frac{k}{2 m}, \quad T=\frac{2 \pi}{\omega_{0}}=2 \pi \sqrt{\frac{2 m}{k}}.
$$
$\textit{Примечание}$. Докажем формулу $\omega_{0}^{2}=\frac{A}{B}$. Пусть $x=a \cos \omega_{0} t$, тогда
$$
v=\frac{d x}{d t}=-a \omega_{0} \sin \omega_{0} t .
$$
Полная энергия: $E=A x^{2}+B v^{2}=A a^{2} \cos ^{2} \omega_{0} t+B a^{2} \omega_{0}^{2} \sin ^{2} \omega_{0} t=\operatorname{const}$ не зависит от $t$. Следовательно,
$$
A a^{2}=B a^{2} \omega_{0}^{2}, \quad \omega_{0}^{2}=\frac{A}{B}.
$$