Помогите Глюку по результатам первых трех измерений восстановить значение $C_{p}$. Рассмотрите два случая:

1  ^?? Исследуемое вещество было идеальным газом;

Для идеального газа известны уравнения изотермы $(p V=\operatorname{const})$ и адиабаты $\left(p V^{\gamma}=\operatorname{const}, \gamma=\frac{C_{p}}{C_{V}}\right)$, из которых дифференцированием легко получить, что в точке пересечения изотермы и адиабаты наклон адиабаты в $\gamma$ раз больше
$$
\left(\frac{\Delta p}{\Delta V}\right)_{ад}=\frac{C_{p}}{C_{V}}\left(\frac{\Delta p}{\Delta V}\right)_{T-\operatorname{const}}, \quad (1)
$$
откуда
$$
\frac{\Delta p_{2}}{\Delta V}=\frac{C_{p}}{C_{V}} \cdot \frac{\Delta p_{1}}{\Delta V} \text { и } C_{p}=C_{V} \frac{\Delta p_{2}}{\Delta p_{1}}. \quad (2)
$$

2  ^?? Исследовалось вещество с неизвестным уравнением состояния.

Покажем, что формула $(1)$, а, следовательно, и $(2)$, справедлива и для произвольного вещества.
Рассмотрим бесконечно малый участок $p V$-диаграммы (см. рисунок ниже).

Проведем из одной точки $2$ изотерму $2-3$, адиабату $2-5$ и «изоэргу» $2-4$ – процесс, в котором внутренняя энергия остается постоянной. Бесконечно малье участки этих кривых можно считать прямолинейными. Нужно доказать, что
$$
\frac{p_{5}-p_{1}}{p_{3}-p_{1}}=\frac{C_{p}}{C_{V}}. \quad (3)
$$
$a)$ Зависимость внутренней энергии $U$ от давления $p$ при постоянном объеме $V$ (вдоль изохоры $1-5$) для произвольного вещества имеет некоторый сложный вид, но на бесконечно малом участке $1-5$ ее можно считать линейной, поэтому (см. рисунок ниже)
$$
\frac{U_{5}-U_{1}}{p_{5}-p_{1}}=\frac{U_{3}-U_{1}}{p_{3}-p_{1}}
$$
и вместо соотношения $(3)$ достаточно доказать, что
$$
\frac{U_{5}-U_{1}}{U_{3}-U_{1}}=\frac{C_{p}}{C_{V}}. \quad (4)
$$

$б)$ Введем обозначение $\Delta T=T_{2}-T_{1}=T_{3}-T_{1}$. По определению $C_{V}$ имеем:
$$
C_{V} \Delta T=U_{3}-U_{1}. \quad (5)
$$
$в)$ Для процесса $1-2$ первое начало термодинамики дает
$$
C_{p} \Delta T=(U_{2}-U_{1})+A_{12}. \quad (6)
$$
В силу бесконечной малости $\Delta V$ работы $A_{12}$, $A_{32}$, $A_{42}$ и $A_{52}$ можно считать равными (точнее, разность любых двух из них пропорциональна $(\Delta V)^{2}$ и поэтому является малой более высокого порядка, чем сами работы) и, учитывая, что $U_{2}=U_{4}$ (лежат на «изоэрге»), формулу $(6)$ можно переписать в виде
$$
C_{p} \Delta T=\left(U_{4}-U_{1}\right)+A_{52} . \quad (7)
$$
$г)$ Первое начало для адиабатического процесса $5-2$ дает
$$
A_{52}=U_{5}-U_{2}=U_{5}-U_{4}. \quad (8)
$$
Подставляя $(8)$ в $(7)$, получим:
$$
C_{p} \Delta T=U_{5}-U_{1}. \quad (9)
$$
Разделив $(9)$ на $(5)$, получаем $(4)$.