Единственная действующая на частицу сила – сила Лоренца – направлена перпендикулярно скорости частицы, поэтому работы не совершает, то есть энергия частицьI (а значит, и ее скорость) сохраняетcя: $v_{x}^{2}+v_{y}^{2}=v^{2}$.
Закон Ньютона для частицы в проекции на ось $O y$ в произвольный момент времени (см. рисунок) имеет вид:
$$
m \frac{d v_{y}}{d t}=F_{л} \cos \alpha.
$$
Сила Лоренца $F_{л}=B q v$. Тогда
$$
m \frac{d v_{y}}{d t}=B q v \cos \alpha=B q v_{x}=\alpha x q v_{x} .
$$
Умножим последнее выражение на $dt$:
$$
m d v_{y}=\alpha q x v_{x} d t=\alpha q x d x.
$$
После интегрирования получим:
$$
m\left(v_{y}-v_{0 y}\right)=\alpha q\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x_{0}^{2}}{2}\right).
$$
Начальная проекция скорости частицы на ось $O y$ равна $0$, $x_{0}=0$, следовательно:
$$
m v_{y}=\frac{\alpha q x^{2}}{2}. \quad (1)
$$
Когда удаление частицы вдоль оси $O x$ максимально, проекция скорости частицы на ось $O x$ равна $0$. Поскольку скорость частицы постоянна, при максимальном удалении $\left|v_{y}\right|=v$. Если заряд частицы положителен, то согласно $(1)$ скорость $v_{y}=v$, а если отрицателен, то $v_{y}=-v$, откуда
$$
m v=\frac{1}{2} \alpha|q| x_{\max }^{2}, \quad x_{\max }=\sqrt{\frac{2 m v}{\alpha|q|}} .
$$