Найдите скорость $v_{1}$ бусинки, когда она в первый раз снова окажется в исходной точке.

Запишем второй закон Ньютона для торможения бусинки на малом участке проволоки с радиусом кривизны $R$ :
$$
m \frac{d v}{d t}=-\mu m \frac{v^{2}}{R} .
$$
Пусть $\varphi$ – угловой путь бусинки, тогда его малое приращение
$$
d \varphi=|\omega| d t=\frac{v}{R} d t,
$$
где $\omega$ – угловая скорость бусинки. Отметим, что знак модуля соответствует определению углового пути (а не перемещения). Исключая $R$ из приведенных уравнений, получим
$$
\frac{d v}{v}=-\mu d \varphi,
$$
откуда
$$
v=v_{0} e^{-\mu \varphi}.
$$
При вычислении углового пути $\varphi$ следует складывать все угловые отклонения вектора скорости бусинки без учета направления отклонения. По заданным рисункам находим, что вектор скорости бусинки пройдет соответственно угловые пути $\varphi_{1}=2 \pi$ и $\varphi_{2}=13 \pi$ прежде, чем бусинка снова окажется в исходной точке, откуда
$$
v_{1}=v_{0} e^{-\mu \varphi_{1}}=0.73~м/с, v_{2}=v_{0} e^{-\mu \varphi_{2}}=0.13~м/с.
$$

Найдите в этом случае скорость $v_{2}$ бусинки, когда она в первый раз снова окажется в исходной точке $B$.