Рассмотрим малый цикл Карно $1 2 3 4$ (см. рисунок).
При $\Delta T \ll T$ и $\Delta V \ll V$ можно приближенно считать, что совершенная в этом цикле работа равна площади $1 2 3^{\prime} 4^{\prime}$ и пренебречь разностью площадей треугольников $1 4 4^{\prime}$ и $2 3 3^{\prime}$. Поскольку расстояние между изотермами вдоль изохоры
$$
\Delta p=\Delta T\left(\frac{\nu R}{V}+\frac{\nu^{2}}{V^{2}} b\right),
$$то площадь параллелограмма $1 2 3^{\prime} 4^{\prime}$ соответствует работе
$$
A=\Delta p \Delta V=\Delta T\left(\frac{\nu R}{V}+\frac{\nu^{2}}{V^{2}} b\right) \Delta V .
$$КПД цикла Карно
$$
\eta=\frac{A}{Q_{+}}=\frac{\Delta T}{T},
$$откуда теплота, полученная от нагревателя,
$$
Q_{+}=T\left(\frac{\nu R}{V}+\frac{\nu^{2}}{V^{2}} b\right) \Delta V.
$$Согласно первому закону термодинамики $Q_{+}=U_{2}-U_{1}+A_{+}$, причем работа газа на изотерме $T$
$$
A_{+}=\left(\frac{\nu R T}{V}+\frac{\nu^{2}}{V^{2}}(b T-a)\right) \Delta V.
$$Следовательно,
$$
U_{2}-U_{1}=Q_{+}-A_{+}= a \frac{\nu^{2}}{V^{2}} \Delta V .
$$По формуле для внутренней энергии из условия имеем:
$$
U_{2}-U_{1}=c \nu^{2}\left(\frac{1}{V_{1}}-\frac{1}{V_{2}}\right) \approx c \frac{\nu^{2}}{V^{2}} \Delta V.
$$Сравнивая последние два выражения, находим $c=a$.