1  ^?? При каком значении $x = x_{\text{кр}}$ произошло бы столкновение зондов, если бы двигатели на них не включались?

1. 1 Записано условие столкновения.	1.00
1. 2 Получен ответ на первый вопрос $$x_\text{кр}=\frac{Lv_1}{\sqrt{v^2_1+v^2_2}}=\frac{3L}{\sqrt{10}}\approx0,95~L. $$	1.00

2  ^?? Найдите минимальное значение силы тяги $F_{\text{мин}}$ при котором зонды не столкнутся, если $x = x_{\text{кр}}$.

2. 1 Обосновано, что при $x=x_\text{кр}$ силы тяги не меняют направления.	1.00
2. 2 Верно описана динамика системы.	0.50
2. 3 Получен правильный ответ $$F_{min}=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\cdot{\frac{v^2_{\text{отн}_0}}{2L}}=\frac{4mv^2}{9L}. $$	0.50

3  ^?? Пусть величины сил тяги двигателей равны $F=F_{\text{мин}}+dF$ ($dF\ll{F_{\text{мин}}}$), а $x = x_{\text{кр}}$. Найдите $\textbf{вектор}$ конечной скорости первого зонда в виде $\alpha\vec{v_1}+\beta\vec{v_2}$.

3. 1 Указано, что в процессе движения вектор относительной скорости меняет направление.	0.50
3. 2 Верно описана динамика системы.	0.50
3. 3 $$v_\text{отн}=\sqrt{2}v_{\text{отн}_0}=\frac{\sqrt{20}v}{3}=\approx1,49~v, $$ либо $$\tau=\frac{3\sqrt{10}\left(1+\sqrt{2}\right)}{5}~\frac{L}{v}, $$ где $\tau$ - время работы двигателей.	0.50
3. 4 Указано, что векторная сумма импульсов зондов постоянна, либо $$\Delta{p_x}=-\frac{3F\tau}{\sqrt{10}};~\Delta{p_y}=\frac{F\tau}{\sqrt{10}}, $$ где оси $x$ и $y$ направлены вдоль $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ соответственно.	0.50
3. 5 $$\alpha=\frac{1-4\sqrt{2}}{5}\approx-0,93~v. $$	1.00
3. 6 $$\beta=\frac{4(1+\sqrt{2})}{5}\approx~1,93~v. $$	1.00

4  ^?? Пусть сила тяги двигателей равна $F$, а $x = x_1$ ($x_1>x_{\text{кр}}$). Найдите $\textbf{модуль}$ конечной скорости первого зонда относительно второго.

4. 1 Верное выражение для суммарной работы силы тяги и силы инерции. $$A=A_{\vec{F}}+A_{\vec{F_\text{и}}}=5FL, $$ либо для суммарной работы сил тяги $$A=FL $$	1.00
4. 2 Выражение для работы получено с необходимыми обоснованиями.	2.00
4. 3 $$v_\text{отн}=\sqrt{v^2_{\text{отн}_0}+\frac{2FL(m_1+m_2)}{m_1m_2}}=\sqrt{\frac{10v^2}{9}+\frac{5FL}{2m}}. $$	1.00
4. 4 $\textit{Примечание}:$ любые ответы, полученные из некорректных рассуждений, оцениваются в ноль баллов.	None