1  ^?? При каком значении $x = x_{\text{кр}}$ произошло бы столкновение зондов, если бы двигатели на них не включались?

Зонды столкнутся, если одновременно окажутся в точке пересечения траекторий. Если двигатели не включались, то зонды движутся равномерно, поэтому:
$$\frac{x_\text{кр}}{v}=3~\frac{\sqrt{L^2-{x_\text{кр}}^2}}{v},
$$
откуда

2  ^?? Найдите минимальное значение силы тяги $F_{\text{мин}}$ при котором зонды не столкнутся, если $x = x_{\text{кр}}$.

Так как $x=x_\text{кр}$, то вектор относительной скорости второго зонда относительно первого $\vec{v}_\text{отн}=\vec{v_2}-\vec{v_1}$ в момент включения двигателей направлен строго на первый зонд.
Перейдём в систему отсчёта, связанную с первым зондом. В ней на второй зонд действуют сила тяги двигателя и сила инерции, равная
$$\vec{F_\text{и}}=m_2~\frac{-\vec{F}}{m_1}.
$$
Из этого следует, что второй зонд движется прямолинейно.

Найдём модуль скорости второго зонда в момент, когда расстояние между зондами равно $S$. Запишем закон изменения кинетической энергии:
$$\frac{m_2{v^2_\text{отн}}}{2}-\frac{m_2{v^2_{\text{отн}_0}}}{2}=A_F+A_{F_\text{и}}=\left(-\vec{F}+\vec{F}_\text{и}\right)\Delta{\vec{r}}_\text{отн},
$$
откуда:
$$\frac{m_2{v^2_\text{отн}}}{2}-\frac{m_2{v^2_{\text{отн}_0}}}{2}=-F\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)\left(L-S\right).
$$
Минимально возможная сила достигается, если при расстоянии $S=0$ между зондами их относительная скорость равна нулю, поэтому:
$$F_{min}=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\cdot{\frac{v^2_{\text{отн}_0}}{2L}}=\frac{4mv^2}{9L}.
$$

3  ^?? Пусть величины сил тяги двигателей равны $F=F_{\text{мин}}+dF$ ($dF\ll{F_{\text{мин}}}$), а $x = x_{\text{кр}}$. Найдите $\textbf{вектор}$ конечной скорости первого зонда в виде $\alpha\vec{v_1}+\beta\vec{v_2}$.

Поскольку по условию $dF\ll{F_{min}}$, будем считать, что $F=F_{min}$. Подставляя в закон изменения кинетической энергии ($1$) выражение для $F_{min}$, получим:
$$\frac{m_2{v^2_\text{отн}}}{2}=FS\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right).
$$
Из этого следует, что в момент, когда расстояние между зондами $S=2L$
$$|v_\text{отн}|=\sqrt{2}~|v_{\text{отн}_0}|.
$$
Направление относительной скорости меняется на противоположное, поэтому
$$\vec{v}_\text{отн}=-\sqrt{2}~\vec{v}_{\text{отн}_0}.
$$
Вернёмся в исходную систему отсчёта.

Равнодействующая сила, действующая на систему из двух зондов, равняется нулю, поэтому центр масс системы движется с постоянной скоростью, равной
$$\vec{v}_C=\frac{\vec{v_1}+4\vec{v_2}}{5}.
$$
Отсюда для скорости первого Зонда относительно центра масс $\vec{v}_{1_{\text{отн}_C}}$ получаем:
$$\vec{v}_{1_{\text{отн}_C}}=\vec{v_1}-\vec{v}_C=\frac{4}{5}\left(\vec{v}_1-\vec{v}_2\right)=-\frac{4}{5}\vec{v}_\text{отн}.
$$
где $\vec{v}_\text{отн}=\vec{v}_2-\vec{v_1}$.

Получим окончательное выражение для вектора конечной скорости второго зонда
$$\vec{v}_\text{к}=\vec{v}_C+\vec{v}_{1_{\text{отн}_C}}=\vec{v}_C-\frac{4\sqrt{2}}{5}\vec{v}_{\text{отн}_0}=\frac{1}{5}\vec{v}_1\left(1-4\sqrt{2}\right)+\frac{4}{5}\vec{v}_2\left(1+\sqrt{2}\right)
$$

4  ^?? Пусть сила тяги двигателей равна $F$, а $x = x_1$ ($x_1>x_{\text{кр}}$). Найдите $\textbf{модуль}$ конечной скорости первого зонда относительно второго.

Вновь перейдём в систему отсчёта, связанную с первым зондом. Учтём, что при произвольном значении $x$ относительное движение второго зонда перестаёт быть прямолинейным, так как $\vec{v}_{\text{отн}_0}$ перестаёт быть направленной на первый зонд, следовательно, относительное ускорение становится неколлинеарным начальной относительной скорости.

Запишем закон изменения кинетической энергии для малого относительного перемещения зондов:
$$d{E_k}=\left(-\vec{F}+\vec{F}_\text{и}\right)d{\vec{r}}_\text{отн}=-\vec{F}\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)d{\vec{r}}_\text{отн}=-F\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)dS,
$$
поскольку вектор силы тяги всегда направлен против направления на второй зонд. Полученное выражение оказывается применимым при любых значениях $x$ и не зависит от формы траектории. Поэтому, используя результат, полученный при решении второго вопроса для значения $S=2L$
$$v_\text{отн}=\sqrt{v^2_{\text{отн}_0}+\frac{2FL(m_1+m_2)}{m_1m_2}}=\sqrt{\frac{10v^2}{9}+\frac{5FL}{2m}}.
$$