1  ^3.00 Найдите индуктивность проволочного кольца, у которого все геометрические размеры в 2 раза больше.

Прежде всего заметим, что индуктивность кольца пропорциональна его радиусу. В самом деле, величина магнитной индукции в каждой точке пространства уменьшается обратно пропорционально радиусу кольца, а площадь увеличивается пропорционально квадрату радиуса. При заданной величине тока в кольце магнитный поток через плоскость кольца, таким образом, прямо пропорционален радиусу. Поэтому индуктивность кольца радиуса $\frac{R}{2}$ равна $\frac{L}{2}$ , а кольца радиуса 2$R$ — $2L$.

2  ^9.00 Какой станет индуктивность кольца $L_2$ радиуса $R$ при помещении его внутрь сверхпроводящего кольца со вдвое большими геометрическими размерами? Плоскости и центры колец во втором случае также совпадают.

Магнитный поток через внутреннюю область нашего кольца (область А) в виде концентрического круга радиуса $\frac{R}{2}$ составляет некоторую часть $\alpha $ от полного потока через плоскость кольца
\[\Phi_A=\alpha LI\]
Тогда магнитный поток через область с внутренним радиусом $\frac{R}{2}$ и внешним радиусом $R$ (область В) внутри нашего кольца
\[\Phi_B=(1-\alpha )LI\ \]
Введем также обозначение для потока $\Phi_{\textrm{С}}$ через область С с внутренним радиусом $R$ и внешним радиусом $2R$, охватывающую снаружи наше кольцо
\[\Phi_C=\beta LI\]
В первом случае (сверхпроводящее колечко внутри) магнитный поток через область А, ограниченную сверхпроводящим контуром равен нулю
$$\Phi_{A1}=\alpha LI-\frac{L}{2}I_1=0$$
Здесь $I_1$ — ток, возникающий в сверхпроводящем колечке. Полный поток через плоскость кольца радиуса $R$ при этом
$$\Phi_1=L_1I=\left(1-\alpha \right)LI+\beta \frac{L}{2}I_1$$
Во втором случае наше кольцо с током $I$ охвачено сверхпроводящим кольцом радиуса $2R$ с индуктивностью $2L$. Во внешнем кольце возникает такой ток $I_2$, при котором полный поток магнитного поля через его плоскость равнялся нулю
$$LI-\beta LI-2LI_2=0$$
Полный поток через плоскость кольца радиуса $R$ при этом
$$\Phi_2=L_2I=LI-\alpha \cdot 2LI_2$$
Из предыдущих уравнений получаем
\[L_1I=\left(1-\alpha \right)LI+\alpha \beta LI=\left(1-\alpha +\alpha \beta \right)LI,\]
И далее
\[L_2I=LI-\alpha \cdot \left(1-\beta \right)LI=\left(1-\alpha +\alpha \beta \right)LI\]
Таким образом, $L_2=L_1$.

Решение 2 (взаимная индуктивность)

Соображение подобия относится и к взаимной индуктивности двух контуров — при увеличении всех геометрических размеров системы в 2 раза коэффициент взаимной индуктивности увеличивается в 2 раза. Таким образом, если коэффициент взаимной индуктивности колец радиусов $R$ и $R/2$ равен $L_{12}$, то для колец радиусов $2R$ и $R$ он будет равен $2L_{12}$. С их использованием уравнения первого варианта решения приобретают вид

$$\Phi_{\textrm{А}1}=L_{12}I-\frac{L}{2}I_1=0$$

$$\Phi_1=L_1I=LI-L_{12}I_1$$

$$2L_{12}I-2LI_2=0$$

$$\Phi_2=L_2I=LI-2L_{12}I_2$$
Из них также следует
\[L_1=L_2=L-\frac{2L^2_{12}}{L}\]