Logo
Logo

Параметрическая раскачка качелей

Известно, что можно раскачать качели, вставая и приседая на них в нужный момент времени. Пусть человек массой $m$ качается на качелях, состоящих из свободно вращающейся штанги и прикрепленной к ней жёсткой пластине. Массой конструкции можно пренебречь и потому считать, что вся масса сосредоточена в центре масс человека. Расстояние между центром масс и точкой подвеса $O$ равно $l$, когда человек стоит на качели, и равно $l + d$, когда он полностью приседает. При решении задачи пренебрегите временем, которое требуется человеку, чтобы присесть или встать. Рассмотрим следующую модель: человек сначала приседает по достижении качелями наивысшей точки $A$, затем приседает в самой низкой точке $B$, затем снова встаёт во второй наивысшей точке $C$. Разница в высоте между $A$ и $B$ равна $h$. Траектория центра масс человека при этом показана на рисунке. После этого тот же процесс повторяется для третьей, четвёртой и т.д. наивысших точек. Считайте, что при вставании/приседании сила взаимодействия с качелями всегда направлена вдоль штанги, точку $B$ примите за ноль гравитационной потенциальной энергии.

1  17.00 Найдите механическую энергию системы на каждом участке движения $A-A'-B-B'-C$ и её изменение в результате. Считайте, что при приседании/вставании потерь энергии не происходит.

Предположим теперь, что при приседании/вставании происходят потери механической энергии $\Delta E$, связанные с сопутствующим этому изменением высоты $\Delta h$ следующими соотношениями: $$\Delta E = k_1mg (h_0 + \Delta h),\ 0<k_1<1\ \text{для приседания,}$$$$\Delta E = k_2mg(h_0'+\Delta h),\ 0<k_2<1\ \text{для вставания,}$$где $k_1$, $k_2$, $h_0$ и $h_0'$ – некоторые постоянные, $g$ – ускорение свободного падения.

2.1  12.00 Найдите соотношение между высотами $h_n$ и $h_{n+1}$ относительно точки $B$ $n$ и $n+1$ наивысших точек.

2.2  6.00 Найдите соотношение между $h_n$ и $h_1$ и соотношение между $h_{n+1}-h_n$ и $h_1$.