Pho.rs: Параметрическая раскачка качелей

1 ^17.00 Найдите механическую энергию системы на каждом участке движения $A-A'-B-B'-C$ и её изменение в результате. Считайте, что при приседании/вставании потерь энергии не происходит.

Ответ: Механическая энергия в точке $A$ равна: $$U_A=mgh_1,$$на участке $A'-B$ равна: $$U_{A'}=mg\frac{l+d}{l}(h_1-d)=U_B,$$на участке $B'-C$ равна: $$U_{B'} = mg\frac{(l+d)^3}{l^3}(h_1-d)+mgd = mgh_2 = U_C,$$её изменение равно: $$U_C-U_A = mg\left[ \left( \frac{l+d}{l} \right)^3-1 \right](h_1-d).$$

2.1 ^12.00 Найдите соотношение между высотами $h_n$ и $h_{n+1}$ относительно точки $B$ $n$ и $n+1$ наивысших точек.

Ответ: $$h_{n+1} = \lambda (h_n-d) - \mu,$$где $\lambda = \frac{1-k_1}{1+k_2} \left( \frac{l+d}{l} \right)^3$ и $\mu = \frac{k_1}{1+k_2} \left( \frac{l+d}{l} \right)^2h_0+\frac{k_2}{1+k_2}h_0'$.

2.2 ^6.00 Найдите соотношение между $h_n$ и $h_1$ и соотношение между $h_{n+1}-h_n$ и $h_1$.

Ответ: \[h_{n+1} = \lambda^n(h_1-d) +d- \mu \frac{1-\lambda^n}{1-\lambda},\\h_{n+1}-h_n=\lambda^{n-1} [(\lambda-1)(h_1-d)-\mu].\]

Параметрическая раскачка качелей

Решение