Pho.rs: Голография

A1 ^0.20 Пусть плоская волна амплитуды $E_0$ распространяется в плоскости $x z$ под углом $\theta$ к оси $z$.
Запишите выражение для комплексной амплитуды $f(\vec{r})$.

1 В плоской волне зависимость фазы линейна по координате	0.10
2 $ f(\vec{r}) = E_0 e^{i k z \cos \theta + i k x \sin \theta} $	0.10

A2 ^0.50 Пусть в плоскости $z = 0$ комплексная амплитуда имеет вид $f = E_0 e^{i u x}$. Найдите выражение для комплексной амплитуды в плоскости с произвольной координатой $z$.
В ответ должно входить волновое число волны $k$ волны.
Получите приближенное выражение в случае $u \ll k$.
Ищите решение в виде плоской волны, распространяющейся под острым углом к оси $z$.

1 $k_x = u$	0.10
2 $k_z = \sqrt{k^2 - u^2}$	0.20
3 Ответ $$ f(\vec{r}) = E_0 e^{i \sqrt{k^2 -u^2} z + i u x } $$	0.10
4 Приближенное выражение $f = E_0 e^{i k z - i \frac{u^2}{2 k}z + i u x}$.	0.10

A3 ^0.70 Пусть в плоскости $z = 0$ находится дифракционная решетка, коэффициент пропускания которой (по амплитуде) имеет вид:
$$
\tau (x) = \alpha + \beta \cos u x.
$$
Перпендикулярно решетке на нее падает плоская электромагнитная волна с волновым числом $k$ и амплитудой $E_0$.
Найдите выражение для комплексной амплитуды волны в плоскости с $z>0$.
Используйте результат предыдущего пункта и принцип суперпозиции.

1 Амплитуда волны после дифрешетки $\tau(x) E_0$	0.10
2 Идея разложения косинуса в сумму экспонент	0.20
3 Вывод о том, что за решеткой 3 плоских волн	0.20
4 Ответ $ f = \alpha E_0 e^{i k z} + \frac{\beta E_0}{2} e^{i \sqrt{k^2 -u^2} z + i u x } + \frac{\beta E_0}{2} e^{i \sqrt{k^2 -u^2} z - i u x } $	0.20

A4 ^0.60 За дифракционной решеткой из предыдущего пункта поставили линзу с фокусным расстоянием $F$. Какое изображение будет в фокальной плоскости такой линзы? Укажите его характерные размеры.

1 Утверждение о том, что линза собирает плоскую волну в точку	0.10
2 Найден угол, под которым распространяется волна $\approx u/k$	0.10
3 Изображение – 3 точки	0.20
4 Расстояние между точками $Fu/k$	0.20

A5 ^0.50 Оказывается, что на некотором расстоянии от периодической структуры распределение интенсивности точно такое же, как на ней самой.
(Это явление называется саморепродукцией.)
При каких значениях координаты $z$ это происходит?

1 Идея совпадения разностей фаз у 3 волн в точке $x =0$	0.20
2 Выражение для разности фаз $(k - \sqrt{k^2 -u^2} )z$	0.10
3 Ответ $ z = \frac{2 \pi m}{k - \sqrt{k^2 -u^2}} \approx \frac{4 \pi m k}{u^2}. $ (возможно без целого числа $m$)	0.20

A6 ^0.50 Считая, что $k h n_1 \ll 1$, запишите выражение для комплексной амплитуды волны между линзой и дифракционной решеткой.
Как будет выглядеть изображение в фокальной плоскости линзы ($z = 3F$)?

1 Выражение для фазы волны после дифрешетки $ e^{i n_1 k h \cos ux} \approx 1 + i n_1 k h \cos u x . $	0.10
2 Выражение для 3 плоских волн после дифрешетки в любом виде	0.20
3 В фокальной плоскости линзы 3 точки	0.20

A7 ^0.50 Разместим на оптической оси в фокальной плоскости линзы ($z = 3F$) небольшую пластинку (размером меньше, чем размер изображения в фокальной плоскости, так что изменяется только его центральная часть), которая вносит дополнительное запаздывание по фазе $\pi/2$. Как теперь выглядит изображение на расстоянии $2F$ от линзы (в плоскости $z = 4F$)? Запишите зависимость интенсивности от $x$.

1 Пластинка влияет только на центральную волну	0.10
2 Амплитуда центральной волны умножается на $i$	0.10
3 Выражение для амплитуды $ f = i E_0 (1 + n_1 k h \cos u x) $	0.10
4 Выражение для интенсивности $ I = E_0^2 (1 + n_1 k h \cos u x)^2 \approx E_0^2 (1 + 2n_1 k h \cos u x ) $	0.20

A8 ^0.50 Теперь вместо прозрачной пластинки, вносящей сдвиг фаз, поставили непрозрачный экран такого же размера. Запишите зависимость интенсивности от $x$ в этом случае.

1 Пластинка убирает центральную волну	0.20
2 Выражение для амплитуды $ f = i E_0 n_1 k h \cos u x $	0.10
3 Выражение для интенсивности $ I = (E_0 n_1 k h)^2 \cos^2 ux. $	0.20

B1 ^0.20 Пусть от предмета идет одна плоская волна амплитуды $E_1$ под углом $\alpha$ к оси $z$, опорная волна амплитуды $ E_0$ падает под углом $-\theta$ к оси $z$ (знак $-$ означает, что угол отсчитывается в противоположную сторону, при этом $\theta > 0$). Фотографическая пластинка расположена в плоскости $z = 0$. Найдите распределение интенсивности $I(x)$ на пластинке.

1 Выражение для амплитуды $ f = E_1 e^{i k \alpha x} + E_0 e^{ - i k \theta x}. $	0.10
2 Ответ $ I = E_0^2 + E_2^2 + 2 E_1 E_0 \cos k x (\alpha + \theta) $	0.10

B2 ^0.50 Пусть на полученную таким способом голограмму падает только опорная волна (под тем же углом, что и в предыдущем пункте). В результате дифракции за пластинкой будет несколько плоских волн. Найдите, под какими углами к оси $z$ они будут распространяться.

1 Выражение для амплитуды за голограммой $ E_0 (1 - \gamma (E_0^2 + E_1^2) ) - \gamma E_0 ^2 E_1 e^{i k \alpha} - \gamma E_0 ^2 E_1 e^{i k (- \alpha - 2 \theta)} $	0.10
2 За голограммой 3 волны	0.10
3 Значения углов $- \theta$, $\alpha$, $- \alpha - 2 \theta$	3 × 0.10

B3 ^0.80 Пусть теперь от объекта идут две плоских волны амплитуд $E_1$ и $E_2$ под близкими друг к другу углами $\alpha_1$ и $\alpha_2$ соответственно.
Опорная волна идет по-прежнему под углом $\theta$ к нормали, ее амплитуда $E_0$.
Найдите распределение интенсивности в плоскости $z=0$.

1 Амплитуда волны в плоскости $z = 0$ – сумма трех экспонент	0.10
2 Ответ для интенсивности – постоянное слагаемое	0.10
3 Ответ для интенсивности – слагаемое с $\cos k x (\alpha_1 - \alpha_2)$	0.20
4 Ответ для интенсивности – слагаемое с $\cos k x (\alpha_1 + \theta)$	0.20
5 Ответ для интенсивности – слагаемое с $\cos k x (\alpha_2 + \theta)$	0.20

B4 ^1.20 Пусть теперь голограмма освещается только опорной волной. Сколько волн будет распространяться за голограммой, под какими углами и с какими амплитудами?
Считайте, что $\Delta \alpha = \alpha_1 - \alpha_2 \ll \alpha \ll 1$ и $\theta \ll 1$.

1 Выражение для амплитуды прошедшей волны типа $\tau(x) E_0 e^{- i k x \theta}$	0.10
2 Преобразование косинуса в сумму экспонент	0.10
3 7 волн	0.10
5 Значения углов $ - \theta, - \theta + \alpha_1 - \alpha_2, - \theta + \alpha_2 - \alpha_1, \alpha_1, \alpha_2, - \alpha_1 - 2 \theta, - \alpha_2 - 2 \theta$	7 × 0.10
6 Значения амплитуд $E_0 (1 - \gamma (E_0^2 + E_1^2 + E_2^2)), \gamma E_0 E_1 E_2, \gamma E_0^2 E_1, \gamma E_0^2 E_2$	4 × 0.05

B5 ^0.50 Часть волн из предыдущего пункта можно сгруппировать в изображения объекта. Сколько у объекта будет изображений и где они будут расположены?

1 2 изображения	0.10
2 Изображение под углом $\alpha$	0.20
3 Изображение под углом $- \alpha - 2 \theta$	0.20

B6 ^0.30 Пусть голограмма имеет конечную ширину $D$. Какое минимальное угловое расстояние $\Delta \alpha$ между лучами можно будет различить в формируемом ей изображении?

1 Дифракционное уширение пучка $\lambda/D$	0.10
2 $\Delta \alpha = \lambda /D$	0.20

B7 ^1.00 Мы пока рассматривали только монохроматическое излучение. Пусть теперь на голограмму из пункта B4 падает восстанавливающая волна с конечной шириной спектра $\Delta \lambda$. Из-за этого угловая ширина изображения увеличится. Оцените, при какой максимальной ширине спектра $\Delta \lambda$ можно будет восстановить объект с угловым размером $\Delta \alpha$. Выразите ответ через длину волны $\lambda$ и углы $\alpha$ и $\theta$.

1 Рассмотрена голограмма, на которую падает волна с другим волновым числом $k^{\prime}$	0.10
2 Выражение для амплитуды $ f = E_0 e^{- i k^\prime x } (1 - \gamma (E_0^2 + E_1^2) - 2 \gamma E_0 E_1 \cos k x (\alpha + \theta)) $	0.20
3 Найден угол, под которым распространяется волна после дифракции $ \alpha^\prime = -\theta + \frac{k}{k^\prime} (\alpha + \theta), $	0.20
4 Изменение угла $ \Delta \alpha = \alpha^\prime - \alpha = \frac{k - k^\prime}{k^\prime} (\alpha +\theta) \approx \frac{\Delta k }{k} (\alpha +\theta) . $	0.10
5 Оценка для $\Delta k$: $\frac{\Delta k}{k} = \frac{\Delta \alpha}{\alpha + \theta} $	0.20
6 Ответ $ \frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{\Delta \alpha}{\alpha + \theta} $	0.20

С1 ^0.80 На пластинку падает волна от источника под углом $\alpha$, опорная волна падает на пластинку по нормали. Тогда в объеме пластинки возникнут объемные интерференционные полосы. Найдите расстояние $d$ между плоскостями, в которых интенсивность максимальна, а также угол $\beta$ между этими плоскостями и осью $z$.

1 Условие максимума $ (1 - \cos \alpha) z - \sin \alpha x = m \lambda $	0.20
2 Плоскости под углом $\beta = \alpha/2$	0.30
3 Расстояние между плоскостями $d = \frac{\lambda}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}$	0.30

С2 ^0.70 Падающее на голограмму излучение отражается от плоскостей максимальной интенсивности зеркально. Пусть пластина освещается белым светом, падающим на нее по нормали. При каком условии на длину волны интенсивность отраженного света будет максимальной? Под каким углом $\alpha^\prime$ направлена отраженная волна?

1 Угол для зеркального отражения $\alpha^{\prime} = \alpha$	0.20
2 Условие Брэгга-Вульфа $2 d \sin \theta = m \lambda$	0.20
3 Длины волн $\lambda/m$	0.30

Голография

Разбалловка