Поскольку известно, что волна плоская, можно определить проекцию ее волнового вектора на ось $x$: $k_x = u$. С учетом направления распространения $k_z = \sqrt{k^2 - u^2} \approx k - \frac{u^2}{2k}$. Таким образом, волна распространяется под углом $\arcsin \frac{u}{k}$ к оси $z$. Формулы применимы при условии $u \ll k$.

Амплитуда волны в плоскости $z = 0$ сразу после прохождения дифракционной решетки равна
$$
f = E_0 (\alpha + \beta \cos ux) = E_0 \alpha + \frac{E_0 \beta}{2} \left( e^{i u x} + e^{-i ux}\right).
$$
Получаем 3 слагаемых, каждое из которых аналогично рассмотренному в предыдущем пункте. Значит по принципу суперпозиции за решеткой будет распространяться 3 плоских волны, а комплексная амплитуда имеет вид

Линза собирает каждую из плоских волн в одну точку. Поэтому изображение в фокальной плоскости – 3 точки, одна из которых лежит на оптической оси, а остальные две смещены на расстояние
$$
d = F \tan \theta = F \frac{u}{\sqrt{k^2 - u^2}} \approx F \frac{ u}{k}
$$

За периодической структурой распространяется 3 плоских волны. Распределение интенсивности зависит от их относительных фаз, поэтому исходное изображение восстановится, если восстановятся такие же фазовые соотношения между волнами, как и в плоскости $z = 0$. Фаза центральной волны зависит от координаты как $k z$, а побочных волн как $\sqrt{k^2 -u^2} z$, поэтому фазы выровняются при условии
$$
z (k - \sqrt{k^2 -u^2}) = 2 \pi m.
$$
$m$ – целое число.

Дифракционная решетка создает для проходящей волны дополнительную фазу
$$
e^{i n_1 k h \cos ux} \approx 1 + i n_1 k h \cos u x .
$$
Постоянную фазу $e^{i k n_0 h}$ не учитываем, поскольку она не влияет на распределение интенсивностей.
Тогда амплитуда волны сразу после решетки
$$
f = E_0 (1 + i n_1 k h \cos u x ) = E_0 + \frac{ i n_1 k h E_0}{2} \left( e^{i u x} + e^{-i ux} \right)
$$
То есть опять получили 3 плоских волны, а значит изображение в плоскости линзы – 3 точки, как и в A4

Если добавить пластинку, фаза центральной волны увеличится на $\pi /2$, а ее амплитуда умножится на $i$. Поскольку известно, что без пластинки распределение амплитуды в плоскости $z = 4F$ такое же, как и в плоскости дифрешетки (линза не вносит дополнительной разности фаз), амплитуду с пластинкой можно получить, умножив амплитуду центальной волны на $i$,
$$
f = i E_0 (1 + n_1 k h \cos u x)
$$
а значит интенсивность

Если в центре поставить пластинку, то центральная волна пропадет, и останется только член с косинусом, а амплитуда в изображении

$$
f = i E_0 n_1 k h \cos u x
$$

Амплитуда в плоскости пластинки
$$
f = E_1 e^{i k \alpha x} + E_0 e^{ - i k \theta x}.
$$

Коэффициент пропускания пластинки
$$
\tau(x) = 1 - \gamma (E_0^2 + E_1^2) - 2 \gamma E_0 E_1 \cos k x (\alpha + \theta)
$$
При восстановлении амплитуда волны сразу за пластинкой
$$
f = E_0 e^{- ik \theta x} \tau(x) =
$$
$$
E_0 (1 - \gamma (E_0^2 + E_1^2) ) - \gamma E_0 ^2 E_1 e^{i k \alpha} - \gamma E_0 ^2 E_1 e^{i k (- \alpha - 2 \theta)}
$$
Значит, за пластинкой распространяется 3 волны под углами $\alpha, \, -\theta, \, -\alpha - 2 \theta$.

Амплитуда в плоскости $z = 0$:
$$
f(x) = E_1 e^{i k \alpha_1 x} + E_2 e^{i k \alpha_2 x} + E_0 e^{ - i k \theta x}
$$,
значит распределение интенсивности
$$
I (x) = E_0^2 + E_1^2 + E_2^2 + 2 E_1 E_2 \cos k x(\alpha_1 - \alpha_2) + 2 E_0 E_1 \cos k x (\alpha_1 + \theta) +
$$
$$
+2 E_0 E_2 \cos k x (\alpha_2 + \theta)
$$

При восстановлении распределение амплитуды волны по голограмме
$$
f = E_0 e^{- i k x \theta } (1 - \gamma I(x)) =
$$
$$
E_0 e^{- i k x \theta } (1 - \gamma ( E_0^2 + E_1^2 + E_2^2)) - \gamma E_0 E_1 E_2 (e^{ i k x (-\theta + \alpha_1 - \alpha_2) } + e^{ i k x (-\theta + \alpha_2 - \alpha_1) } )
$$
$$
- \gamma E_0^2 E_1 ( e^{i k \alpha_1 x} + e^{i k (-\alpha_1 - 2 \theta) x} )
-\gamma E_0^2 E_2 ( e^{i k \alpha_2 x} + e^{i k (-\alpha_2 - 2 \theta) x} )
$$
Значит в восстановленная волна будет состоять из 7 плоских волн, распространяющихся под углами
$$
\varphi = - \theta, - \theta + \alpha_1 - \alpha_2, - \theta + \alpha_2 - \alpha_1, \alpha_1, \alpha_2, - \alpha_1 - 2 \theta, - \alpha_2 - 2 \theta
$$
Их амплитуды соответственно равны
$$
A = E_0 (1 - \gamma (E_0^2 + E_1^2 + E_2^2)), \gamma E_0 E_1 E_2, \gamma E_0^2 E_1, \gamma E_0^2 E_2
$$
Есть одна волна с первой амплитудой и по две волны с оставшимися.

Из-за конечного размера голограммы плоская волна после дифракции приобретает конечную угловую ширину
$$
\Delta \varphi \approx \frac{\lambda}{D}.
$$
Она и определяет минимальный угловой размер, который можно разрешить

Возьмем голограмму из пункта B2 и посветим на нее восстанавливающей волной с немного другим волновым числом $k^\prime$.
Тогда амплитуда в плоскости голограммы будет иметь вид
$$
f = E_0 e^{- i k^\prime x } (1 - \gamma (E_0^2 + E_1^2) - 2 \gamma E_0 E_1 \cos k x (\alpha + \theta))
$$
Как и раньше, после разложения косинуса, получим 3 плоских волны.
Выберем ту из них, которая отвечает волне, распространяющейся под углом, близким к $\alpha$. Ее амплитуда имеет вид
$$
- 2 \gamma E_0^2 E_1 e^{- i k ^\prime x\theta + i k x (\alpha + \theta)}
$$
значит эта волна распространяется под углом
$$
\alpha^\prime = -\theta + \frac{k}{k^\prime} (\alpha + \theta),
$$
то есть изображение сместилось на угол
$$
\Delta \alpha = \alpha^\prime - \alpha = \frac{k - k^\prime}{k^\prime} (\alpha +\theta) \approx \frac{\Delta k }{k} (\alpha +\theta) .
$$
Значит максимальная ширина спектра
$$
\frac{\Delta \lambda}{\lambda} \approx \frac{\Delta k}{k} = \frac{\Delta \alpha}{\alpha + \theta}
$$

Положения интерференционных максимумов задаются уравнениями
$$
(1 - \cos \alpha) z - \sin \alpha x = m \lambda
$$
Они представляют собой плоскости, повернутые на угол $\alpha/2$ к оси $z$ (и перпендикулярные плоскости $xz$).
Расстояние между плоскостями вдоль оси $x$ $\lambda/\sin \alpha$, а по нормали к ним $\frac{\lambda}{\sin \alpha} \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\lambda}{2 \sin (\alpha/2)}$.

После зеркального отражения волна распространяется под углом $\alpha^\prime = \alpha$ к оси $z$.
Из условия Брэгга -Вульфа $2 d \sin \frac{\alpha}{2} = m \lambda^\prime$ находим длины волн, для которых отражение максимально
$$
\lambda^\prime = \frac{\lambda}{m}
$$
Таким образом среди восстановленных волн есть волна с той же длиной волны, что и исходная, распространяющаяся под тем же углом.