Часть A. Положения равновесия айсберга (4 балла)

Существует выражение "верхушка айсберга". Оно происходит из того, что лишь 10% айсберга находятся над поверхностью воды, а остальные же 90% скрыты под ней. В этой задаче мы разберёмся, как расположена скрытая часть – вертикально на большой глубине или почти горизонтально у самой поверхности.

Для простоты будем рассматривать двумерную задачу, движение в которой происходит только в плоскости рисунка. Выясним устойчивость вертикального (рис. 2) и горизонтального (рис. 3) положений прямоугольного айсберга шириной $W$ и высотой $H$ ($H > W$), т.е. рассмотрим, возвращаются ли они в исходное положение при небольшом отклонении.

Плотности льда и воды на единицу площади равны $\rho_\mathrm{ic}$ и $\rho_\mathrm{wa}$ соответственно, ускорение свободного падения равно $g$, удельная плотность льда $\rho\equiv\frac{\rho_\mathrm{ic}}{\rho_\mathrm{wa}}$, масса айсберга $M=HW\rho_\mathrm{ic}$. Координаты центра масс айсберга в исходном состоянии обозначим за $(X_0,Y_0)$, а угол наклона айсберга – за $\theta$. Все ответы в задаче выражайте через приведённые выше величины.

Рассмотрим сначала влияние силы, действующей со стороны жидкости на объект, в неё погружённый, – силы Архимеда.

A1  ^0.40 Покажите, что сила Архимеда равна по величине силе тяжести, действующей на вытесненную объектом воду. Влиянием атмосферного давления пренебрегите.

$\textit{Подсказка:}$ разбейте объект на тонкие плоские горизонтальные участки и рассмотрите действующие на них силы.

Центр тяжести вытесненной воды называется центром плавучести. Известно, что его можно рассматривать как точку приложения силы Архимеда.

A2  ^0.40 На рисунке 2 показан вертикальный айсберг шириной $W$ и высотой $H$. Обозначьте закрашенным кружком центр тяжести айсберга $G$, а незакрашенным кружком – его центр плавучести $G'$. Расставьте силы. Найдите высоту $H_1$ части айсберга, находящейся под поверхностью воды.

A3  ^0.20 Найдите высоту $W_1$ погруженной под воду части горизонтального айсберга, показанного на рисунке 3.

Устойчивость положения айсберга можно выяснить, исследуя его потенциальную энергию. Для этого введём оси так, как показано на рисунке 4, а начало координат выберем на поверхности воды. Поскольку море – очень большой водоём, то изменением его уровня при погружении айсберга можно пренебречь. Помимо потенциальной энергии льда необходимо учитывать также и энергию вытесненной воды, начальное значение которой (в исходном состоянии, когда лёд не погружён в воду) примем равным $U_0$.

Рассмотрим сначала вертикальный айсберг.

A4  ^0.40 Выразите $y$-координаты центра тяжести айсберга $y_H$ и его центра плавучести $y'_H$ через $H$ и $H_1$.

A5  ^0.70 Обозначим потенциальную энергию льда как $U_\mathrm{ic}$, а её величину в исходном состоянии – как $U_{0,\mathrm{ic}}$. Выразите разность энергий льда $\Delta U_\mathrm{ic}=U_\mathrm{ic}-U_{0,\mathrm{ic}}$ в данном состоянии и исходном через $y_H$ и $Y_0$.

A6  ^0.70 Обозначим потенциальную энергию воды как $U_\mathrm{wa}$. Выразите разность $\Delta U_\mathrm{wa}=U_\mathrm{wa}-U_0$ через $y'_H$.

A7  ^0.40 Найдите изменение потенциальной энергии $\Delta U_H=U_H-U_0$ всей системы по сравнению с исходным состоянием.

Рассмотрим теперь горизонтальный айсберг. Поскольку полученные выше результаты не зависят от соотношения между $H$ и $W$, то изменение потенциальной энергии $\Delta U_W=U_W-U_0$ в этом случае можно получить непосредственно из полученного выше.

A8  ^0.40 Найдите $\Delta U_W$.

A9  ^0.40 В каком из двух описанных состояний потенциальная энергия айсберга оказывается меньше?

Часть B. Устойчивость положений равновесия (6 баллов)

Устойчивые положения айсберга характеризуются минимальностью потенциальной энергии. Рассмотрим показанный на рисунке 5 айсберг, наклонённый под углом $\theta$ к вертикали. Потенциальную энергию системы в это время обозначим как $U_H(\theta)$, тогда $U_H(0)$ – энергия системы при вертикальном, а $U_H(\frac\pi2)$ – в горизонтальном положениях.

Поскольку величина выталкивающей силы постоянна, площадь погруженной под воду части льда не зависит от угла наклона $\theta$. Следовательно, площади треугольников 1 и 2 на рисунке 5 равны. Отсюда ясно, что линии, по которым поверхность воды пересекает айсберг, будут пересекаться друг с другом посередине. Эту точку пересечения примем за начало координат $O$. Координаты центра тяжести и центра плавучести айсберга при угле наклона $\theta$ обозначим как $(x_\theta,y_\theta)$ и $(x'_\theta,y'_\theta)$ соответственно.

B1  ^0.30 При угле наклона $\theta$ выразите разность $\Delta U_H(\theta)=U_H(\theta)-U_0$ через $y_\theta$, $y'_\theta$ и $Y_0$.

B2  ^0.30 Найдите координаты $(x_\theta,y_\theta)$ центра тяжести айсберга, когда он наклонён на угол $\theta$.

Теперь необходимо найти координаты центра плавучести $(x'_\theta,y'_\theta)$. Для этого нужно найти:

— площадь треугольника 1 $S_1$ и положение его центра тяжести $(x_1,y_1)$;
— площадь треугольника 2 $S_2$ и положение его центра тяжести $(x_2,y_2)$;
— площадь $S$ подводной части айсберга;

которые можно получить из простых геометрических соображений.

B3  ^2.00 Найдите $S_1$, $(x_1,y_1)$, $S_2$, $(x_2,y_2)$ и $S$.

B4  ^0.70 Выразите координаты центра плавучести $(x'_\theta,y'_\theta)$ через $y'_H$ и определённые выше величины.

B5  ^1.00 Найдите $\Delta U_H(\theta)$.

Когда угол $\theta$ мал ($|\theta|\ll1$), $\Delta U_H(\theta)$ можно разложить по $\theta$ до второго порядка малости.

B6  ^0.70 Найдите, какой вид имеет $\Delta U_H(\theta)$ при малых $\theta$.

B7  ^0.30 Найдите, при каком условии вертикальное положение айсберга будет устойчивым.

B8  ^0.30 Аналогично, найдите, при каком условии горизонтальное положение айсберга будет устойчивым.

B9  ^0.40 Как известно, для льда $\rho=0.90$. Для каждого из положений айсберга найдите отношение между $H$ и $W$, при котором оно будет устойчивым. Ответы приведите с точностью до двух значащих цифр.

В этой задаче был исследован двумерный случай, поскольку при учёте третьего измерения получить условие устойчивости при произвольном $\rho$ даже для прямоугольного параллелепипеда оказывается довольно сложно. Трёхмерная задача будет осложняться также и возможностью вращения вокруг вертикальной оси.