i  ^1.00 Если уронить одну стеклянную пластину на другую, то может быть так, что она не разобьется, а мягко остановится. На рисунке изображен этот случай: первая пластина («1» на рисунке) лежит на столе, вторая пластина («2») падает и, упираясь в небольшой выступ («3»), не скользит. Падающая пластина в начальный момент находилась в положении $A$, а в данный момент находится в положении $B$~— на небольшом расстоянии $h=h_0$ от покоящейся пластины. Угловая скорость падения пластины в данный момент равна $\omega_0$. Чему равна скорость воздуха между пластинами возле их левых ребер?

i. 1 Использование закона сохранения массы	0.40
i. 2 Выражение для закона сохранения массы	0.40
i. 3 Окончательный ответ $v(x=L)=\frac{L^{2} \omega}{2 h}$	0.20

ii  ^2.50 У стеклянной пластины известны следующие параметры: ширина $L\gg h_0$, толщина $t\ll L$, плотность $\rho_g$. Длина стеклянной пластины (размер в глубину рисунка) много больше $L$. Как будет зависеть от $h$ угловая скорость пластины при ее дальнейшем движении? Плотность воздуха равна $\rho_a$. Силой тяжести, вязкостью и сжимаемостью воздуха можно пренебречь. Также считайте, что поток воздуха везде ламинарный.

ii. 1 Идея, что из ламинарности течения, кинетическая энергия пластины и окружающего воздуха сохраняется.	0.60
ii. 2 Кинетическая энергия воздуха: идея, что ее бОльшая часть связана движением воздуха между пластинами	0.60
ii. 3 Кинетическая энергия воздуха: нахождение скорости воздуха на расстоянии $x$ от выступа: $v(x)=\frac{x L \omega}{2 h}$	0.20
ii. 4 Кинетическая энергия воздуха: правильный вид интеграла для кинетической энергии	0.30
ii. 5 Кинетическая энергия воздуха: $K_{air}=\frac{\rho_{a} L^{5} \omega^{2}}{32 h}$	0.10
ii. 6 Правильное выражение для момента инерции пластины относительно оси вращения	0.20
ii. 7 Правильная кинетическая энергия вращения пластины $K_{rot}=\frac{L^{3} t \rho_{g} \omega^{2}}{6}$	0.20
ii. 8 Окончательный ответ: $$\omega=\omega_{0} \sqrt{\frac{1+\frac{3 \rho_{a} L^{2}}{16 p_{g} t} \frac{1}{h_{0}}}{1+\frac{3 \rho_{a} L^{2}}{16 p_{g} t} \frac{1}{h}}}$$	0.20
ii. 9 Анализ ответа, что при $h\to 0$, угловая скорость $\omega\to 0$.	0.10

iii  ^3.00 Цилиндрический каменный диск («1» на рисунке) радиуса $R$, высоты $h$ и плотности $\rho_s$ удерживается у крышки резервуара с водой (плотность воды $\rho_w$). Из-за неровностей поверхности крышки между диском и крышкой остается небольшой зазор шириной $t\ll R$. В крышке сделано круглое отверстие («2») радиуса $r\ll R$, диск и отверстие расположили соосно (см. рис). Радиус отверстия много больше ширины зазора, $r \gg t$. В резервуар через отверстие («2») заливают воду, вытекает вода через отверстие («3»), которое находится далеко. Каким должен быть массовый расход $\mu$~(кг/с) втекающей жидкости, чтобы диск не падал? Ускорение свободного падения $g$.

iii. 1 Нахождение $v(x)=\frac{\mu}{2 \pi x t \rho_{w}}$ из условия непрерывности	0.50
iii. 2 Динамическое давление из уравнения Бернулли $\Delta p=\frac{1}{2 \rho_{w}}\left(\frac{\mu}{2 \pi x t}\right)^{2}$	0.50
iii. 3 Интегрирования давления по поверхности диска	0.50
iii. 4 Комментарий, почему силу давления струи можно не учитывать	0.50
iii. 5 Сила тяжести и сила Архимеда, действующие на диск	0.50
iii. 6 Окончательный ответ $\mu=2 \pi R t \sqrt{\frac{h \rho_{w}\left(\rho_{s}-\rho_{w}\right)}{\ln (R / r)} g}$	0.50

iv  ^0.50 Паровые турбины широко используются в электрогенерации. Рассмотрим упрощенную модель: вода кипит при температуре $t_t=180~^\circ\mathrm C$ и давлении $p_t=10^6~Па$ (в реальности давления могут быть намного больше), а затем получившийся пар вылетает через цилиндрический канал сечением $A=1~см^2$. Давление в окружающем пространстве $p_0=10^5~Па$. Найдите измерение энтропии $\Delta S$ одного моля пара и одного моля жидкости в вылетающей струе. Молярная масса воды $M=18~г/моль$, удельная теплота парообразования при $100~^\circ\mathrm C$: $L=2.3~МДж/кг$.

iv. 1 $\Delta S=\Delta Q/T$	0.10
iv. 2 $\Delta Q=LM$	0.10
iv. 3 $T=T_0$	0.20
iv. 4 Правильный численный ответ $\Delta S=\frac{\Delta Q}{T_{0}}=\frac{1 \mathrm{~mol} \cdot M L}{T_{0}}=110 \mathrm{~J} / \mathrm{K}$	0.10

v  ^3.00 Найдите массовый расход $\mu$ получившейся струи. Найдите также долю $r$ воды, находящейся в струе в жидкой фазе. Считайте, что при движении к каналу и в канале, расширение паров воды обратимо (т.е. теплопроводностью можно пренебречь, и жидкая и газообразная фаза всегда находятся в равновесии). Показатель адиабаты водяного пара $\gamma = 4/3$.

Нахождение $r$
v. 2 Идея, что энтропия сохраняется	0.20
v. 3 Идея расчета энтропии с $T_{t}, P_{t}$ до $T_{0}, P_{0}$	0.20
v. 4 Выражение $d S=\frac{d U+d W}{T}$	0.10
v. 5 и его преобразование к $d S=\frac{c d T+pdV}{T}$	0.10
v. 6 Идея перейти к двум переменным из списка $T, V, P$	0.10
v. 7 Интегрирование, чтобы найти изменение энтропии пара	0.20
v. 8 Выражение для изменения энтропии пара $\Delta S_{\text {vapour }}=n c_{p} \ln \left(\frac{T_{0}}{T_{1}}\right)-n R \ln \left(\frac{p_{0}}{p_{1}}\right)$	0.20
v. 9 Использование $c_v=3R$	0.10
v. 10 Верное соотношение для изменения энтропии в процессе фазового перехода	0.20
v. 11 Окончательный ответ $r=\frac{R T_{0}}{M L}\left(\ln \left(\frac{p_{1}}{p_{0}}\right)-\frac{\gamma}{\gamma-1} \ln \left(\frac{T_{1}}{T_{0}}\right)\right)=0.114$	0.10
Нахождение $\mu$
v. 13 Идея использовать закон сохранения энергии для потока	0.20
v. 14 Правильное выражение для работы в ЗСЭ	0.20
v. 15 Правильное выражение для изменения внутренней энергии	0.50
v. 16 Правильное учет кинетической энергии движения	0.10
v. 17 Правильное выражение для $v=\sqrt{2\left(\frac{c_{p} \Delta T}{M}+r L\right)}=906~м/с$	0.10
v. 18 Уравнение состояния идеального газа через плотность	0.10
v. 19 В ответе присутствует поправочный коэффициент $\frac{1}{1-r}$	0.20