Logo
Logo

Течение газа и жидкости

i  1.00 Если уронить одну стеклянную пластину на другую, то может быть так, что она не разобьется, а мягко остановится. На рисунке изображен этот случай: первая пластина («1» на рисунке) лежит на столе, вторая пластина («2») падает и, упираясь в небольшой выступ («3»), не скользит. Падающая пластина в начальный момент находилась в положении $A$, а в данный момент находится в положении $B$ — на небольшом расстоянии $h=h_0$ от покоящейся пластины. Угловая скорость падения пластины в данный момент равна $\omega_0$. Чему равна скорость воздуха между пластинами возле их левых ребер?

__
Использование закона сохранения массы 0.40
Выражение для закона сохранения массы 0.40
Окончательный ответ $v(x=L)=\frac{L^{2} \omega}{2 h}$ 0.20
ii  2.50 У стеклянной пластины известны следующие параметры: ширина $L\gg h_0$, толщина $t\ll L$, плотность $\rho_g$. Длина стеклянной пластины (размер в глубину рисунка) много больше $L$. Как будет зависеть от $h$ угловая скорость пластины при ее дальнейшем движении? Плотность воздуха равна $\rho_a$. Силой тяжести, вязкостью и сжимаемостью воздуха можно пренебречь. Также считайте, что поток воздуха везде ламинарный.

__
Идея, что из ламинарности течения, кинетическая энергия пластины и окружающего воздуха сохраняется. 0.60
Кинетическая энергия воздуха: идея, что ее бОльшая часть связана движением воздуха между пластинами 0.60
Кинетическая энергия воздуха: нахождение скорости воздуха на расстоянии $x$ от выступа: $v(x)=\frac{x L \omega}{2 h}$ 0.20
Кинетическая энергия воздуха: правильный вид интеграла для кинетической энергии 0.30
Кинетическая энергия воздуха: $K_{air}=\frac{\rho_{a} L^{5} \omega^{2}}{32 h}$ 0.10
Правильное выражение для момента инерции пластины относительно оси вращения 0.20
Правильная кинетическая энергия вращения пластины $K_{rot}=\frac{L^{3} t \rho_{g} \omega^{2}}{6}$ 0.20
Окончательный ответ:
$$\omega=\omega_{0} \sqrt{\frac{1+\frac{3 \rho_{a} L^{2}}{16 p_{g} t} \frac{1}{h_{0}}}{1+\frac{3 \rho_{a} L^{2}}{16 p_{g} t} \frac{1}{h}}}$$
0.20
Анализ ответа, что при $h\to 0$, угловая скорость $\omega\to 0$. 0.10
iii  3.00 Цилиндрический каменный диск («1» на рисунке) радиуса $R$, высоты $h$ и плотности $\rho_s$ удерживается у крышки резервуара с водой (плотность воды $\rho_w$). Из-за неровностей поверхности крышки между диском и крышкой остается небольшой зазор шириной $t\ll R$. В крышке сделано круглое отверстие («2») радиуса $r\ll R$, диск и отверстие расположили соосно (см. рис). Радиус отверстия много больше ширины зазора, $r \gg t$. В резервуар через отверстие («2») заливают воду, вытекает вода через отверстие («3»), которое находится далеко. Каким должен быть массовый расход $\mu$ (кг/с) втекающей жидкости, чтобы диск не падал? Ускорение свободного падения $g$.

__
Нахождение $v(x)=\frac{\mu}{2 \pi x t \rho_{w}}$ из условия непрерывности 0.50
Динамическое давление из уравнения Бернулли $\Delta p=\frac{1}{2 \rho_{w}}\left(\frac{\mu}{2 \pi x t}\right)^{2}$ 0.50
Интегрирования давления по поверхности диска 0.50
Комментарий, почему силу давления струи можно не учитывать 0.50
Сила тяжести и сила Архимеда, действующие на диск 0.50
Окончательный ответ $\mu=2 \pi R t \sqrt{\frac{h \rho_{w}\left(\rho_{s}-\rho_{w}\right)}{\ln (R / r)} g}$ 0.50
iv  0.50 Паровые турбины широко используются в электрогенерации. Рассмотрим упрощенную модель: вода кипит при температуре $t_t=180 ^\circ\mathrm C$ и давлении $p_t=10^6 Па$ (в реальности давления могут быть намного больше), а затем получившийся пар вылетает через цилиндрический канал сечением $A=1 см^2$. Давление в окружающем пространстве $p_0=10^5 Па$. Найдите измерение энтропии $\Delta S$ одного моля пара и одного моля жидкости в вылетающей струе. Молярная масса воды $M=18 г/моль$, удельная теплота парообразования при $100 ^\circ\mathrm C$: $L=2.3 МДж/кг$.

__
$\Delta S=\Delta Q/T$ 0.10
$\Delta Q=LM$ 0.10
$T=T_0$ 0.20
Правильный численный ответ $\Delta S=\frac{\Delta Q}{T_{0}}=\frac{1 \mathrm{ mol} \cdot M L}{T_{0}}=110 \mathrm{ J} / \mathrm{K}$ 0.10
v  3.00 Найдите массовый расход $\mu$ получившейся струи. Найдите также долю $r$ воды, находящейся в струе в жидкой фазе. Считайте, что при движении к каналу и в канале, расширение паров воды обратимо (т.е. теплопроводностью можно пренебречь, и жидкая и газообразная фаза всегда находятся в равновесии). Показатель адиабаты водяного пара $\gamma = 4/3$.

__
Нахождение $r$
Идея, что энтропия сохраняется 0.20
Идея расчета энтропии с $T_{t}, P_{t}$ до $T_{0}, P_{0}$ 0.20
Выражение $d S=\frac{d U+d W}{T}$ 0.10
и его преобразование к $d S=\frac{c d T+pdV}{T}$ 0.10
Идея перейти к двум переменным из списка $T, V, P$ 0.10
Интегрирование, чтобы найти изменение энтропии пара 0.20
Выражение для изменения энтропии пара $\Delta S_{\text {vapour }}=n c_{p} \ln \left(\frac{T_{0}}{T_{1}}\right)-n R \ln \left(\frac{p_{0}}{p_{1}}\right)$ 0.20
Использование $c_v=3R$ 0.10
Верное соотношение для изменения энтропии в процессе фазового перехода 0.20
Окончательный ответ $r=\frac{R T_{0}}{M L}\left(\ln \left(\frac{p_{1}}{p_{0}}\right)-\frac{\gamma}{\gamma-1} \ln \left(\frac{T_{1}}{T_{0}}\right)\right)=0.114$ 0.10
Нахождение $\mu$
Идея использовать закон сохранения энергии для потока 0.20
Правильное выражение для работы в ЗСЭ 0.20
Правильное выражение для изменения внутренней энергии 0.50
Правильное учет кинетической энергии движения 0.10
Правильное выражение для $v=\sqrt{2\left(\frac{c_{p} \Delta T}{M}+r L\right)}=906 м/с$ 0.10
Уравнение состояния идеального газа через плотность 0.10
В ответе присутствует поправочный коэффициент $\frac{1}{1-r}$ 0.20