Космическая станция, расположенная на геостационарной орбите, имеет форму цилиндра длины $L=100~км$ и радиуса $R=1~км$. Станция заполнена воздухом (его молярная масса $M=29~г/моль$) при атмосферном давлении и температуре $T=295~К$. Цилиндрическая поверхность служит «полом» для обитателей станции. Станция вращается вокруг своей оси, и создает привычное ускорение свободного падения $g=9.81~м/с^2$ на «полу».

i  ^0.50 Чему равен период вращения~$\tau$?

ii  ^2.00 Мяч бросают из некоторой точки на «полу», а затем, спустя $t=\tau/2$, ловят его в той же самой точке. С какой скоростью бросали мяч? Сопротивлением воздуха пренебречь.

iii  ^2.00 Воздушный шарик радиуса $r=3~м$ наполнили гелием (молярная масса гелия $M'=4~г/моль$). Шарик используют чтобы поднять груз неизвестной массы $m$. Груз прикрепили к шарику легкой веревкой длины $L=20~м$. Эта конструкция поднимается и в конце концов останавливается на высоте $H=500~м$ от «пола». Определите значение массы $m$.

Веревка (ее линейная плотность $\lambda=1~кг/м$) прикреплена к «полу» в двух диаметрально противоположных точках цилиндра (так, что расстояние между ее концами равно $2R$). Пусть точки $A$, $B$, и $C$ — это два конца веревки и ее середина соответственно.

iv  ^1.50 Пусть точка $C$ расположена на высоте $h$ над «полом». Найдите $T_A-T_C$, разность сил натяжения веревки в точках $A$ и $C$.

v  ^1.50 Пусть в точке $A$ угол, который составляет веревка с «полом» равен $\alpha$. Найдите отношение сил натяжения $T_A/T_C$.

vi  ^1.50 Аппроксимируя форму веревки параболой, найдите $T_C$, если $h=495~м$.

vii  ^2.00 Металлические стены станции заряжены. Их полный заряд равен $Q$. Внутри станции над «полом» неподвижно парит заряженный шарик. Найдите отношение заряда к массе $q/m$ шарика. Зарядами, индуцированными шариком на «полу», можно пренебречь.

viii  ^2.00 Теорема Гаусса утверждает, что $\oint \vec E\cdot \mathrm d\vec A = 0$, где интеграл берется по замкнутой поверхности, окружающей объем $V$, в котором нет зарядов. Как нужно изменить это выражение с точки зрения обитателя станции, если никаких других зарядов (кроме $Q$, распределенного по периметру станции) нет.