Pho.rs: Вращающаяся космическая станция

i ^0.50 Чему равен период вращения $\tau$?

__

Нахождение ускорения на полу	0.20
Правильное выражение для периода $\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}} \approx 63.437 с$	0.20
Правильный численный ответ	0.10

ii ^2.00 Мяч бросают из некоторой точки на «полу», а затем, спустя $t=\tau/2$, ловят его в той же самой точке. С какой скоростью бросали мяч? Сопротивлением воздуха пренебречь.

__

Нахождение траектории в инерциальной системе отсчета	0.53
Нахождение радиальной скорости $\frac{4 R}{\tau}$	0.53
Нахождение тангенциальной скорости $\frac{2 \pi R}{\tau}$	0.53
Правильное сложение скоростей $\sqrt{\left(\frac{4 R}{\tau}\right)^{2}+\left(\frac{2 \pi R}{T}\right)^{2}}=\frac{2 R}{\tau} \sqrt{4+\pi^{2}}$	0.27
Правильный числовой ответ 117 м/с	0.13

iii ^2.00 Воздушный шарик радиуса $r=3 м$ наполнили гелием (молярная масса гелия $M'=4 г/моль$). Шарик используют чтобы поднять груз неизвестной массы $m$. Груз прикрепили к шарику легкой веревкой длины $L=20 м$. Эта конструкция поднимается и в конце концов останавливается на высоте $H=500 м$ от «пола». Определите значение массы $m$.

__

Идея баланса силы инерции (во вращающейся СО) и силы Архимеда	0.80
Правильное выражение для силы, действующей на шар	0.50
Правильное выражение для силы, действующей на тело	0.20
Выражение для баланса сил	0.20
Верное выражение для массы $m=\frac{\frac{4}{3} \pi r^{3}\left(M-M^{\prime}\right) P(R-H)}{R_{G} T(R-H+l)} \approx 110.8 кг$	0.20
Верный числовой ответ	0.10

iv ^1.50 Пусть точка $C$ расположена на высоте $h$ над «полом». Найдите $T_A-T_C$, разность сил натяжения веревки в точках $A$ и $C$.

__

Идея виртуального перемещения куска из точки $C$ в $A/B$	0.20
Идея работы, совершенной силой натяжения	0.10
и корректное выражение $l T_{C}-l T_{A}$	0.30
Идея изменения потенциальной энергии во вращающейся СО (или кинетической в лабораторной СО)	0.10
и корректное выражение $-\frac{l \lambda \omega^{2} h(2 R-h)}{2}$	0.30
Полная работа равна 0	0.20
Окончательный ответ $T_A-T_C=-\frac{l \lambda \omega^{2} h(2 R-h)}{2}$	0.30

v ^1.50 Пусть в точке $A$ угол, который составляет веревка с «полом» равен $\alpha$. Найдите отношение сил натяжения $T_A/T_C$.

__

Идея, что веревка находится в равновесии	0.20
Равенство нулю полного момента сил	0.20
Исключение радиальной силы, выбором точки, относительно которой записываются моменты сил	0.40
Верные выражения моментов, включающих обе силы натяжения	0.20
Окончательный ответ $\frac{T_{A}}{T_{C}}=\frac{R-h}{R \cos \alpha}$	0.50

vi ^1.50 Аппроксимируя форму веревки параболой, найдите $T_C$, если $h=495 м$.

__

В некоторых выбранных осях показано, что форма веревки — парабола	0.30
Правильное выражение для $\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{R^{2}}{4(R-h)^{2}}}} \approx 0.7106$	0.20
и верное числовое значение	0.20
Система уравнений из пункта (iv) и (v), даже если там эти уравнения были неверные	0.20
Правильное выражение для силы натяжения $$T_A=T_{C} \frac{R-h}{R \cdot 0.7106} \approx T_{C} \cdot 0.7107,$$ $$T_{C}=\frac{\lambda 2 \pi^{2} h(2 R-h)}{t^{2}(1-0.7107)} \approx 12631 Н$$	0.40
Штраф, если решено только для $T_A$	-0.10
Верный числовой ответ для $T_C$	0.20

vii ^2.00 Металлические стены станции заряжены. Их полный заряд равен $Q$. Внутри станции над «полом» неподвижно парит заряженный шарик. Найдите отношение заряда к массе $q/m$ шарика. Зарядами, индуцированными шариком на «полу», можно пренебречь.

__

Нахождение тока	0.27
Нахождение магнитного поля	0.30
Нахождение силы, действующей вверх на заряженный шарик	0.67
M1 Запись центростремительного ускорения шарика	0.13
M1 Верная связь между силой и ускорением	0.27
M2 Верный баланс сил во вращающейся СО (с верным выражением для силы, действующей вверх)	0.30
Окончательный ответ $\frac{q}{m}=-\frac{2 \pi L}{\mu_{0} Q}$	0.27
Неверный знак заряда	-0.27

viii ^2.00 Теорема Гаусса утверждает, что $\oint \vec E\cdot \mathrm d\vec A = 0$, где интеграл берется по замкнутой поверхности, окружающей объем $V$, в котором нет зарядов. Как нужно изменить это выражение с точки зрения обитателя станции, если никаких других зарядов (кроме $Q$, распределенного по периметру станции) нет.

__

Утверждение, что во вращающейся СО есть только электрическое поле	0.20
Нахождение напряженности электрического поля $\vec{E}=\frac{2 \pi \mu_{0} Q}{\tau^{2} L} \vec{r}$	0.20
Выбор подходящей гауссовой поверхности	0.20
Подсчет интеграла по поверхности и окончательный ответ $\oint \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{A}=V \frac{4 \pi \mu_{0} Q}{\tau^{2} L}$	0.40

Вращающаяся космическая станция

Разбалловка