Pho.rs: Лучи света в атмосфере

A1 ^0.40 Запишите закон Снеллиуса для точки $P$, находящейся на высоте $l\Delta h$. Совершив предельный переход $\Delta h\to0$, $\Delta hl\to h$, $\theta_l\to\theta(h)$, $n_l\to n(h)$, получите выражение для $\theta(h)$.

A1. 1 Записан закон Снеллиуса для точки $P$.	0.10
A1. 2 Записан закон Снеллиуса для непрерывной среды.	0.20
A1. 3 Получено выражение для $\theta(h)$.	0.10

A2 ^0.50 Пользуясь этим результатом, найдите, как зависит показатель преломления $n(h)$ атмосферы от высоты. Выразите ответ через $n_\mathrm S=n(0)$ и $n_\mathrm H=n(H)$.

A2. 3 Получено выражение для $N_S$.	0.15
A2. 4 Получено выражение для $N_H$.	0.15
A2. 5 Получено выражение для $n(h)$.	0.20

A3 ^0.50 Выразите показатель преломления $n_\mathrm m\equiv n(h_\mathrm m)$ в верхней точке траектории луча через $n_\mathrm S$ и $\theta_\mathrm S$.

A3. 1 Записан закон Снеллиуса для луча.	0.20
A3. 2 Получено выражение для $n_\mathrm m$.	0.15
A3. 3 Получено выражение для $h_\mathrm m$.	0.15

A4 ^1.00 Выразите $a_\mathrm m$ и $b$ через $h_\mathrm m$, $n_\mathrm H$, $n_\mathrm S$ и $n_\mathrm m$.

A4. 1 Выражение для $\frac{\mathrm dh}{\mathrm dx}$ переписано через $n_S$, $n_H$, $n_\mathrm m$ и $h_\mathrm m$.	0.40
A4. 2 Получено выражение для $a_\mathrm m$,	0.30
A4. 3 Получено выражение для $b$.	0.30

A5 ^0.50 Выразите коэффициенты $c$ и $d$ через $a$ и $b$.

A5. 1 Выражение для $h(x)$ подставлено в дифференциальное уравнение, полученное в предыдущем пункте.	0.20
A5. 2 Получено выражение для $c$.	0.15
A5. 3 Получено выражение для $d$.	0.15

A6 ^1.60 Выразите $h_\mathrm g$ как функцию расстояния $L$ от наблюдателя до острова. Выше или ниже остальных виден самый дальний из наблюдаемых островов?

A6. 1 $L$ выражено через $n_S$, $n_H$, $H$ и $h_\mathrm m$, получено квадратное уравнение.	0.50
A6. 2 Из физических соображений выбран корень со знаком "$-$".	0.20
A6. 3 Получено выражение для $h_\mathrm m$ через $L$.	0.30
A6. 4 Указано, что $h_\mathrm g=4h_\mathrm m$.	0.30
A6. 5 Записано итоговое выражение для $h_\mathrm g$.	0.30

A7 ^0.80 Выразите через $n_S$, $n_H$ и $H$ максимальное расстояние $L_\max$ до острова, который ещё может видеть наблюдатель. Чему при этом равен угол $\theta_{S\max}$?

A7. 1 Указано, что $L_\max$ соответствует $h_\mathrm m=H$.	0.20
A7. 2 Получено выражение для $L_\max$.	0.30
A7. 3 Получено выражение для $\theta_{S\max}$.	0.30

A8 ^0.50 Вычислите $L_{\max}$ и $\theta_\mathrm S$ с точностью до двух значащих цифр.

A8. 1 Получено выражение для $\alpha$ у поверхности Земли.	0.20
A8. 2 Найден численный ответ для $L_\max$.	0.15
A8. 3 Найден численный ответ для $\theta_S$.	0.15

B1 ^0.80 Найдите зависимость $N(h)$, если концентрация у поверхности земли $N(0)=N_0$.

B1. 1 Записано выражение для $\frac{\mathrm dp}{\mathrm dh}$.	0.15
B1. 2 Плотность воздуха $\rho$ выражена через $N$ и $T$.	0.15
B1. 3 Верный знак показателя экспоненты.	0.40
B1. 4 Получено выражение для $p(h)$ с точностью до знака в показателе экспоненты.	0.10

B2 ^1.00 Выразите $\frac1R$ через $\theta(h)$ и $\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dh}$.

B2. 1 Элемент траектории луча $\mathrm dl$ выражен через $\mathrm dh$ и $\theta$.	0.30
B2. 2 Элемент траектории луча $\mathrm dl$ выражен через $R$ и $\mathrm d\theta$.	0.30
B2. 3 Получено выражение для $\frac1R$.	0.40

B3 ^0.50 Преобразуйте полученное в $\bf B2$ выражение с помощью закона Снеллиуса из $\bf A1$ так, чтобы оно содержало только $n$, $n_S$ и $\theta_S$.

B3. 1 Получено выражение для $\frac1R$.

0.50

B4 ^0.90 Найдите, чему равен вблизи земной поверхности радиус кривизны $R$ траектории луча, распространяющегося под малым углом к горизонту. Выразите ответ через $m$, $g$, $n_\mathrm S$, $T$ и $k_\mathrm B$.

B4. 1 Получено выражение для $\frac{\mathrm dn}{\mathrm dh}$.	0.50
B4. 2 Получено выражение для $R$.	0.40

B5 ^0.50 Найдите численно радиус кривизны траектории луча $R_E^{lr}$, исходящего горизонтально из некоторой точки на поверхности земли. Увеличивается ли в дальнейшем высота луча над поверхностью?

B5. 1 Найдено численное значение $R^{lr}_E$.	0.40
B5. 2 Высота луча над поверхностью увеличивается.	0.10

B6 ^0.50 Найдите численно радиус кривизны траектории луча $R_V^{lr}$, исходящего горизонтально из некоторой точки непосредственно над поверхности планеты. Увеличивается ли в дальнейшем высота луча над поверхностью?

B6. 1 Найдено численное значение $R^{lr}_V$.	0.40
B6. 2 Высота луча над поверхностью уменьшается.	0.10

Лучи света в атмосфере

Разбалловка