Закон Снеллиуса для точки $P$:\[n_l\cos\theta_l=n_{l+1}\cos\theta_{l+1}.\]Переходя к пределу, получаем закон Снеллиуса для непрерывной среды:\[n(h)\cos\theta(h)=n_S\cos\theta_S,\]откуда окончательно получаем:\[\theta(h)=\arccos\left(\frac{n_S\cos\theta_S}{n(h)}\right).\]

Выразим концентрации воздуха на высотах $h=0$ и $h=H$:\[N_S=\frac1\alpha\Big[n_S^2-1\Big],\quad N_H=\frac1\alpha\Big[n_H^2-1\Big].\]Подставив их в закон зависимости показателя преломления, имеем:\[n(h)=\sqrt{n_S^2-\left(n_S^2-n_H^2\right)\frac hH}.\]

Пишем закон Снеллиуса, учитывая, что в вершине траектории $\theta=0$:\[n_S\cos\theta_S=n_\mathrm m\cos0=n_\mathrm m.\]Отсюда и из результатов предыдущего пункта имеем:\[h_\mathrm m=\frac{n_S^2\sin^2\theta_S}{n_S^2-n_H^2}H.\]

Подставляем непосредственно:\[\frac{\mathrm dh}{\mathrm dx}=\sqrt{\frac1{\cos^2\theta}-1}=\sqrt{\frac{n^2}{n_\mathrm m^2}-1}=\sqrt{\left(\frac{n_S^2}{n_\mathrm m^2}-1\right)\left(1-\frac{n_S^2-n_H^2}{n_S^2-n_\mathrm m^2}\frac hH\right)}=\\=\sqrt{\frac{n_S^2-n_H^2}{n_\mathrm m^2}\frac{h_\mathrm m}H\left(1-\frac{h}{h_\mathrm m}\right)}\implies a_\mathrm m=\frac{n_S^2-n_H^2}{n_\mathrm m^2},\quad b=h_\mathrm m.\]

Подставляем непосредственно:\[\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\Big[cx+dx^2\Big]=c+2dx=\sqrt{a\left(1-\frac{cx+dx^2}b\right)}\implies\\\implies c^2=a,\quad4cd=-\frac{ac}b\implies c=\sqrt a,\quad d=-\frac a{4b}.\]

Несложно заметить, что:\[L=-\frac cd=\frac{4b}{\sqrt a}=4\sqrt{h_\mathrm m\left(\frac{n_S^2}{n_S^2-n_H^2}-h_\mathrm m\right)}\implies\\\implies h_\mathrm m^2-\frac{n_S^2}{n_S^2-n_H^2}h_\mathrm m+\frac{L^2}{16}=0\implies\\\implies h_\mathrm m=\frac H2\left[\frac{n_S^2}{n_S^2-n_H^2}\pm\sqrt{\left(\frac{n_S^2}{n_S^2-n_H^2}\right)^2-\frac{L^2}{4H^2}}\right].\]Так как $L\to0\ (h_\mathrm m\to0)$, то следует выбрать корень со знаком "$-$". Из геометрических свойств параболической траектории\[h_\mathrm g=4h_\mathrm m,\]поэтому\[h_\mathrm g=2H\left[\frac{n_S^2}{n_S^2-n_H^2}-\sqrt{\left(\frac{n_S^2}{n_S^2-n_H^2}\right)^2-\frac{L^2}{4H^2}}\right].\]Из этой формулы ясно, что самый дальний из островов будет виден выше остальных.

Ясно, что максимальному расстоянию соответствует случай $h_\mathrm m=H$, откуда, подставляя в одно из выражений предыдущего пункта,\[L_\max=\frac{4Hn_H}{\sqrt{n_S^2-n_H^2}}.\]Из закона Снеллиуса:\[\theta_{S\max}=\arccos\frac{n_H}{n_S}.\]

Найдём для нормальных условий:\[\cfrac{p_0\alpha}{k_\mathrm B}=\cfrac{n_0^2-1}{T_0}\implies\\\implies n_S^2=1+\big(n_0^2-1\big)\frac{T_0}{T_S},\quad n_H^2=1+\big(n_0^2-1\big)\frac{T_0}{T_H}\implies\\\implies L_\max=14.4\ км,\quad\theta_S=0.31^\circ.\]

Рассматривая баланс сил, действующих на участок атмосферы на высоте от $h$ до $h+\mathrm dh$, получим:\[\cfrac{\mathrm dp}{\mathrm dh}=-\rho g.\]Поскольку воздух можно считать идеальным газом, то из уравнения Менделеева-Клапейрона:\[\rho=\frac{mp}{k_\mathrm BT},\]откуда\[\frac{\mathrm dp}{\mathrm dh}=-\cfrac{mg}{k_\mathrm BT}p\implies \cfrac{p(h)}{p(0)}=e^{-\frac{mgh}{k_\mathrm BT}}\implies N(h)=N_0e^{-\frac{mgh}{RT}}.\]

Для элемента длины траектории луча $\mathrm dl$, с одной стороны,\[\mathrm dl=\frac{\mathrm dh}{\sin\theta},\]а с другой стороны,\[\mathrm dl=-R\ \mathrm d\theta,\]откуда\[\frac1R=-\sin\theta\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dh}.\]

Из закона Снеллиуса\[\cos\theta=\cfrac{n_S\cos\theta_S}n,\]тогда\[\frac1R=-\sin\theta\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dh}=\frac{\mathrm d\big(\cos\theta\big)}{\mathrm dh}=n_S\cos\theta_S\frac{\mathrm d}{\mathrm dh}\bigg[\frac1n\bigg]=-\frac{n_S\cos\theta_S}{n^2}\frac{\mathrm dn}{\mathrm dh}.\]

Находим непосредственно:\[\frac1R=-\frac1{n_E}\frac{\mathrm dn}{\mathrm dh}=-\frac{n_E^2-1}{2n_E^2}\frac{\mathrm d}{\mathrm dh}\bigg[e^{-\frac{mgh}{k_\mathrm BT}}\left.\bigg]\right|_{h=0}=\Big(1-n_E^{-2}\Big)\frac{mg}{2k_\mathrm BT}\implies\\\implies R=\frac{2k_\mathrm BT}{\Big(1-n_E^{-2}\Big)mg}.\]

Подставляем численные значения:\[R_E^{lr}=\frac{2k_\mathrm BT}{\Big(1-n_E^{-2}\Big)mg}=31.4\cdot10^3\ км.\]Высота луча над поверхностью увеличивается, поскольку $R_E^{lr} > R_E$.

Найдём сначала показатель преломления $n_V$ на поверхности Венеры:\[n_V=1+\frac{4\pi a_C^3p_V}{k_\mathrm BT_V}=1.0314,\]тогда по уже известной формуле\[R_V^{lr}=\frac{2k_\mathrm BT_V}{\Big(1-n_V^{-2}\Big)m_\mathrm Cg_V}=5.24\cdot10^2\ км.\]Высота луча над поверхностью уменьшается, поскольку $R_V^{lr} < R_V$.