Logo
Logo

Магнитная левитация

A1  0.40 Получите начальное магнитное поле $\vec{B}(\vec{\rho},z)$ при $z\geq 0$ в момент времени $t_{0}=0$.

__
$$
\vec{B}_{mp} = \frac{\mu_0 q_m}{4 \pi} \frac{(z-h)\hat{z} + \vec{\rho}}{[(z-h)^2+ \rho^2]^{3/2}}
$$
0.10
$$
\vec{B}{}^\prime = \frac{\mu_0 q_m}{4 \pi} \frac{(z+h)\hat{z} + \vec{\rho}}{[(z+h)^2+ \rho^2]^{3/2}}
$$
0.20
$$
\vec{B} =\frac{\mu_0 q_m}{4 \pi} \frac{(z-h)\hat{z} + \vec{\rho}}{[(z-h)^2+ \rho^2]^{3/2}}+\frac{\mu_0 q_m}{4 \pi} \frac{(z+h)\hat{z} + \vec{\rho}}{[(z+h)^2+ \rho^2]^{3/2}}
$$
0.10
A2  0.20 Получите начальное магнитное поле $\vec{B}(\vec{\rho},z)$ при $z\leq -d$ в момент времени $t_{0}=0$.

__
$$
\vec{B} = 0
$$
0.20
A3  0.40 Найдите начальный магнитный поток $\Phi_{\rm B}$ через поверхности пленки, расположенные в $z=0$, и в $z=-d$.

__
$$
B_z^\prime=0 \text{ при } z=0
$$
0.10
$$
\Phi_B=0 \text{ при } z=0
$$
0.10
$$
B_z^\prime=0 \text{ при } z=-d
$$
0.10
$$
\Phi_B=0 \text{ при } z=-d
$$
0.10
A4  0.60 Получите начальное распределение объемной плотности тока $\vec{j}(\vec{\rho})$ в тонкой проводящей пленке при $t_{0}=0$.

__
$$
B_\rho (\rho, \, z=0) d \rho = \mu_0 j(\rho) d\rho\cdot d
$$
0.40
$$
\vec{j}(\vec{\rho}) = \frac{1}{\mu_0 d}
\hat{z} \times \vec{B}(\vec{\rho},\,z=0) = \frac{q_m}{2 \pi d} \frac{\hat{z} \times \vec{\rho}}{(h^2 + \rho^2)^{3/2}}
$$
0.20
A5  0.60 Получите из уравнения (2) уравнения для $B_{z}'(\rho,z;t)$ рядом с поверхностью $z\approx 0$. Такое уравнение содержит первые частные производные $B_{z}'(\rho,z;t)$ по $z$ и (отдельно) по $t$.

__
$$
\left. \frac{\partial B_z^\prime}{\partial z}\right|_z-\left. \frac{\partial B_z^\prime}{\partial z}\right|_{-d-z}
= \mu_0 \sigma(d + 2z) \frac{\partial B_z^\prime}{\partial t} \approx \mu_0 \sigma d \frac{\partial B_z^\prime}{\partial t}
$$
0.20
$$
\left. \frac{\partial B_z^\prime}{\partial z}\right|_z=-\left. \frac{\partial B_z^\prime}{\partial z}\right|_{-d-z}
$$
0.20
$$
\frac{\partial}{\partial t} B^\prime_z(\rho,\, z;\,t) = \frac{2}{\mu_0 \sigma d}\times \frac{\partial}{\partial z}B^\prime_z(\rho,\, z;\,t)
$$
0.20
A6  0.40 Найдите общий вид $B_{z}'(\rho,z;t) $ рядом с поверхностью $z\approx 0$ при $t>0$.

__
$$
B^\prime _z (\rho,\,0 ;\, t) = f(\rho,\, z+ v_0 t) \text{ вблизи } z = 0
$$
0.40
A7  0.40 Покажите, что ваше решение A6 для $B_{z}'(\rho,z\approx 0;t)$ соответствует тому, что изображение монополя движется со скоростью, направленной вниз. Найдите скорость движения изображения монополя $v_{0}$ через известные параметры из условия задачи.

__
$$
\text{При } t = 0\quad B_z ^\prime(\rho,\, z \ge 0) \text{ имеет вид } F(\rho,\, z+h)
$$
0.10
$$
\text{При } t>0 \quad z \to z + v_0 t
$$
0.10
$$
v_0 = \frac{2}{\mu_0 \sigma d}
$$
0.20
B1  0.80 Запишите координаты всех изображений монополей $(t=0)$ с зарядами $q_{\rm m}$ и $-q_{\rm m}$. Шаги по времени начинаются в моменты времени $t=-n\tau,$ где $n\geq 0$.

__
Положение монополей $q_m$:
$$
(x,\,z) = [-n v \tau, - h - n v_0 \tau], \text{ при } n \ge 0
$$
0.40
Положение монополей $-q_m$:
$$
(x,\,z) = [-n v \tau, - h - (n-1) v_0 \tau], \text{ при } n \ge 0
$$
0.40
B2  0.70 Найдите выражение в виде суммы для магнитного потенциала $\Phi_{+}(x,z)$ в момент времени $t=0$ , создаваемого всеми монополями-изображениями из <strong>B.1</strong>. Вычислите $\Phi_{+}(x,z)$.

__
Магнитный потенциал
$$
\Phi _+= \frac{\mu_0 q_m}{4 \pi} \left[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{(x+ nv \tau)^2+(z+ h + nv_0\tau)^2}}-
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{(x+ nv \tau)^2+(z+ h + (n-1)v_0\tau)^2}}
\right]
$$
0.30
$$
\Phi _+= \frac{\mu_0 q_m}{4 \pi \tau} \int_0^{\infty}dt^\prime\,
\left[
\frac{1}{\sqrt{(x+ vt^\prime)^2+(z+ h + v_0 t^\prime)^2}}-
\frac{1}{\sqrt{(x+ v t^\prime + v\tau)^2+(z+ h +v_0 t^\prime)^2}} \right]
$$
0.20
$$
\Phi_+ = \frac{\mu_0 q_m v}{4 \pi} \frac{1}{(z+h)-v_0 x}\left[\frac{z+h}{\sqrt{x^2+ (z+h)^2}} - \frac{v_0}{\sqrt{v^2+v_0^2}}\right]
$$
0.20
B3  1.50 Найдите силу $\vec{F}$ действующую на точечный магнитный диполь со стороны проводящей пленки в момент времени $t=0$.

__
$$
\Phi_T(x,\,z) = \Phi_+(x,\,z+-\Phi_-(x,\,z) \text{ где } \Phi_-(x,\,z) = - \Phi_+(x, \, z- \delta_m)
$$
0.20
$$
\Phi_T(x,\,z) = \Phi_+(x,\,z)-\Phi_+(x,\,z-\delta_m)= \delta _m \times \frac{\partial \Phi_+}{\partial z}
$$
0.20
$$
\Phi_T(x,\,z) = - \frac{\mu_0 m v}{4 \pi} \left[ \frac{v}{((z+h)v- v_0 x)^2
}\left(\frac{z+h}{\sqrt{z^2 + (z+h)^2}}- \frac{v_0}{\sqrt{v_0^2 + v^2}} \right)-\right.
$$
$$
- \left. \frac{x^2}{[(z+h)v - v_0 x][x^2 + (z+h)^2]^{3/2}}\right]
$$
0.30
$$
F_z = - q_m \left. \frac{d}{dx}\Phi_T(0,\,z)\right|_{z=h} + q_m \left. \frac{d}{dx}\Phi_T(0,\,z)\right|_{z=h-\delta_m}
$$
0.20
$$
F_z = \frac{3 \mu_0 m^2}{32 \pi h^4}\left[ 1 - \frac{v_0}{\sqrt{v_0^2 + v^2}}\right]
$$
0.20
$$
F_x= - q_m \left. \frac{d}{dx}\Phi_T(x,\,h)\right|_{x=0} + q_m \left. \frac{d}{dx}\Phi_T(x,\,h - \delta_m)\right|_{x=0}
$$
0.20
$$
F_x = -\frac{3 \mu_0 m^2}{32 \pi h^4} \frac{v_0}{v}\left[ 1 - \frac{v_0}{\sqrt{v_0^2 + v^2}}\right]
$$
0.20
B4  0.30 Найдите значение $v_{0}$, скорость движения изображения диполя, как в A7.

__
$$
v_0 = \frac{2}{\mu_0 \sigma d} = \frac{2}{4 \pi \times 10^{-7} \times 5.9 \times 10^7 \times 0.5 \times 10^{-2}} = 5.4 м/с
$$
0.30
B5  0.40 Получите зависимость $v_{0}(v)$ и в режиме малых скоростей $v$, и в режиме больших скоростей.

__
$$
\text{В режиме } v< v_c: \quad v_0(v) = v_0
$$
0.10
$$
\text{В режиме } v> v_c: \quad v_0(v) = \frac{2}{2 \sigma \delta} = \frac{2}{\mu_0 \sigma}\sqrt{\frac{\omega \mu_0 \sigma}{2}}
$$
0.10
$$
\omega = \frac{v}{h}
$$
0.10
$$
v_0 (v) = v_0 \sqrt{\frac{d}{h}} \sqrt{\frac{v}{v_0}}
$$
0.10
B6  0.30 Найдите критическую скорость $v=v_{\rm c}$ при которой два случая из <strong>B.5</strong> переходят друг в друга.

__
$$
\delta = d
$$
0.10
$$
v_c = \frac{2 h}{d^2 \mu_0 \sigma} = v_0 \frac{h}{d}
$$
0.20
C1  1.20 Найдите расстояние $h_{0}$ от диполя до сверхпроводящей пленки, на котором он находится в равновесии.

__
M1 $$
\Phi_T (x,\,z) = - \frac{\mu_0 q_m}{4 \pi} \frac{1}{\sqrt{x^2+ (z+h)^2}}+\frac{\mu_0 q_m}{4 \pi} \frac{1}{\sqrt{(x-\delta_m)^2+ (z+h)^2}}
$$
0.30
M1 $$
F_{z}^{\prime}=\left.\left(-q_{\mathrm{m}}\right)\left[-\frac{\partial}{\partial z} \Phi_{\mathrm{T}}\right]\right|_{x=0,}+\left.q_{\mathrm{m}}\left[-\frac{\partial}{\partial z} \Phi_{\mathrm{T}}\right]\right|_{x=\delta_{\mathrm{m}}}
$$
0.30
M1 $$
F_{z}^{\prime}=\frac{3 \mu_{0} m^{2}}{64 \pi h^{4}}
$$
0.40
M1 $$
h_0 = \left[ \frac{3 \mu_0 m^2}{64 \pi M_0 g}\right]^{1/4}
$$
0.20
M2 $$
F_{z}^{\prime}=2 \frac{\mu_{0} q_{\mathrm{m}}^{2}}{4 \pi}\left[\left(\frac{1}{2 h}\right)^{2}-\frac{2 h}{\left(\delta_{m}^{2}+(2 h)^{2}\right)^{3 / 2}}\right]
$$
0.60
M2 $$
F_{z}^{\prime}=\frac{3 \mu_{0} m^{2}}{64 \pi h^{4}}
$$
0.40
M2 $$
h_0 = \left[ \frac{3 \mu_0 m^2}{64 \pi M_0 g}\right]^{1/4}
$$
0.20
C2  0.80 Найдите частоту колебаний диполя $\Omega$ относительно положения равновесия.

__
$$
\frac{d F_{z}^{\prime}}{d z}=-k=-M_{0} \Omega^{2}
$$
0.50
$$
\Omega = \sqrt{\frac{4 g}{h_0}}
$$
0.30
C3  0.70 Вычислите значение $h_{0}$.

__
$$
h_0 = \left[ \frac{3 \mu_0 \left( \frac{4}{3}\pi R^3 M\right)^2}{64 \pi \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \rho_0g\right)}\right]^{1/4} = \left[ \frac{R^3 M^2 \mu_0}{16 \rho_0 g}\right]^{1/4}
$$
0.30
$$
h_0 = \left[ \frac{10^{-18} \times75^2\times10^{-4}}{16 \times 7400 \times 9.8 \times \mu_0}\right]^{1/4} м
$$
0.20
$$
h_0 = 25 мкм
$$
0.20
C4  0.30 Вычислите значение $\Omega$.

__
$$
\Omega = \sqrt{\frac{4 g}{h_0}} = \sqrt{\frac{4 \times 9.8}{25 \times 10^{-6}}} с^{-1} = 1.25 кГц
$$
0.30