В решении идет речь о проекциях скоростей на ось $x$, направленную к стене.
Первое столкновение шайб:
Скорость центра масс: $u_{ц.м.}= u/2$, а проекции скоростей шайб в системе отсчета центра масс (СЦМ) равны $u/2$ и $-u/2$. Запишем энергию системы после столкновения в СЦМ, $v$ – скорости после соударения:
\[ mu^2\cdot(1-\alpha)/4 = mv^2, v = \sqrt{1-\alpha}\cdot u/2 \]
Обозначим: $\beta = \sqrt{1-\alpha}$. Возвращаясь в лабораторную СО, получим: $u_2=-\beta u/2+u/2 = (1-\beta)u/2$, $u_1= \beta u/2 + u/2 = (1+\beta)u/2$.
После удара, первая шайба будет двигаться в сторону стены, упруго от неё отразится и полетит обратно со скоростью $-u_1 = -(1+\beta)u/2.$
Второе столкновение шайб:
Первая движется со скоростью $-(1+\beta)u/2$, а вторая ей навстречу с $(1-\beta)u/2$. Скорость центра масс $$u_{ц.м.} = \dfrac{(1-\beta)u/2-(1+\beta)u/2}{2} = -\beta u/2$$, а скорости шайб в СЦМ: $-u/2$ и $u/2$. После удара доля $\alpha$ энергии рассеивается и скорости в СЦМ становятся равными $\beta u/2$ и $-\beta u/2$. Возвращаясь в лабораторную СО, получим, что скорость второй шайбы станет равна $u_2 = -\beta u/2 -\beta u/2 = -\beta u$, а первой $u_1 = \beta u/2 - \beta u/2 = 0$, следовательно первая шайба остановится.
Три этапа для первой шайбы:
1) движение к стене со скоростью $(1+\beta)u/2$
2) движение от стены со скоростью $(1+\beta)u/2$
3) покой на расстоянии $s_1$ от стены
Найдем времена движения на двух первых участках:
Время от первого соударения, до удара о стену: $$t_1 = \dfrac{s}{(1+\beta)u/2} = \dfrac{2s}{(1+\beta)u}.$$
За это время вторая шайба проходит расстояние:
\[ s_2 = u_2\cdot t_1 = (1-\beta)\dfrac{u}{2}\cdot \dfrac{2s}{(1+\beta)u} = \dfrac{(1-\beta)s}{1+\beta} ,\]
и, следовательно, расстояние от второй шайбы до стены, или расстояние между шайбами после удара первой шайбы о стенку, равно:
\[ s-\dfrac{(1-\beta)s}{1+\beta} = \dfrac{2\beta}{1+\beta}s.\]
Шайбы сближаются со скоростью $(1+\beta)u/2+(1-\beta)u/2 = u$. Второе столкновение происходит через:
\[ t_2 = \dfrac{2\beta}{1+\beta}\dfrac{s}{u},~t_1+t_2 = \dfrac{2s}{u} \]
К этому результату можно прийти проще:
По ЗСИ $mu_{л} +mu_{п} = mu~\rightarrow u = v_1 + v_2.$ Тогда суммарное перемещение двух шайб между ударами $2s = u_{л}t+u_{п}t = ut,$ и $t=\dfrac{2s}{u}$
Первая шайба удалится от стены на расстояние:
\[ s_1 = \dfrac{2\beta}{1+\beta}\dfrac{s}{u}\cdot \dfrac{1+\beta}{2}u = \beta s = s\sqrt{1-\alpha}.\]
Там она и остановится.
График $l(t)$ имеет вид:
